ВХІД             Реєстрація

ПЕДАГОГІЧНІ ВИДАННЯ / е-журнал «Педагогічна наука: історія, теорія, практика, тенденції розвитку» / Архів номерів / Випуск №2 [2009] / В. Фірсов, О. Семенов. Шкільна математика в Росії

УДК 371+378

В. Фірсов , А. Семенов

ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В РОССИИ

Анотація. У статті розглядаються історичні аспекти "існування" шкільної математики в Росії. 
Ключові слова: математика, навчальний предмет, інтеллектуальні уміння, компонент освіти.

Аннотация. В статье рассматриваются исторические аспекты "существования" школьной математики в России.
Ключевые слова: математика, учебный предмет, интеллектуальные умения, компонент образования

Abstract. History aspects "existence" school mathematicians are considered In article in Russia.
Keywords: mathematics, scholastic subject, intellectual skills, component of the formation.

В системе учебных предметов, которые изучают российские школьники, математика занимает выдающееся место. Она вносит наибольший вклад в формирование ключевых интеллектуальных умений и личностных качеств учащихся, в подготовку их к жизни. Поэтому наряду с русским языком она традиционно рассматривается как основной компонент общего образования.

Школьное математическое образование в нашей стране имеет глубокие исторические корни и общепризнанные традиции, оно предмет гордости и постоянной опеки. Среди авторов действующих в сегодняшней школе учебников математики имена таких выдающихся современных математиков как А.Колмолгоров, С.Никольский, А.Александров, А.Погорелов. Школьная математика в нашей стране не уникальная реликвия, пылящаяся на музейной полке, но живой и развивающийся организм, активно приспосабливающийся к окружающему миру и влияющий на него. Именно в недрах школьной математики возникли наиболее заметные инновации, преобразующие современную российскую школу. Россияне расценивают свою школьную математику как национальное достояние.

Some History

Первое упоминание об обучении математике на Руси восходит к Х веку. В течение длительного времени математика изучалась исключительно при монастырях. Впрочем, знаменитые берестяные грамоты, найденные при раскопках средневекового Великого Новгорода, свидетельствуют о высоком уровне владения бытовой арифметикой среди обычного населения.

Мощный импульс, который реформы Петра I придали России, привел в конечном итоге к возникновению общего образования, и математика с самого начала заняла в нем заметное место. В 1703 году появилась знаменитая книга Л.Магницкого, на полвека ставшая основным учебником математики в России. В церковно-приходской школе, основного просветительского учреждения для народа в течение двух столетий, изучение арифметики было обязательным. Даже в классической гимназии – оплоте гуманитарного духа – обучение математике рассматривалось как существенная часть образования, не говоря уже о реальных и коммерческих училищах.

Революционных порыв, охвативший страну после событий октября 1917 г., сломал старую школу. Десятилетие после гражданской войны прошло под знаком поисков новой, революционной модели школы. Искали ее среди революционных зарубежных образцов, начисто отвергая знакомую и добротную германскую модель. К началу 30-х годов, однако, стало ясно, что задачи индустриализации станы и подготовки ее к грядущей войне нельзя решить без реставрации традиционной школы. Серия партийных постановлений 30-х годов о школе предписывала восстановление систематического изучения основ наук и ориентацию среднего образования на подготовку инженерных кадров.

Для учебного предмета математики начинался период расцвета. Русский язык и математика занимают первые строки в учебном плане школы, в полном объеме восстанавливаются систематические курсы арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, в школу вводится легендарные учебники выдающегося педагога-математика А.Киселева, созданные еще до октябрьский событий 1917 г. Именно поколениям, обучавшимся по этим учебникам, обязан Советский Союз победой в войне, восстановлении страны, грандиозными научно-техническими достижениями 50-60 г.г. В середине 30-х г.г. в стране начинается создание сети математических кружков и олимпиад, однако заметное распространение они получают в послевоенное время. В 1959 г. в Москве начинает работать первая школа с математической специализацией, а в начале 60-х первые физико-математические школы-интернаты для одаренных детей.

Российская школьная математика не оставалась в стороне от бурных дискуссий, которыми ХХ веке было охвачено мировое математическое сообщество. Общероссийские съезды учителей математики (1911 и 1913 г.г.), на которых обсуждались идеи модернизации школьной математики – изучение функций и геометрических преобразований, введение в школу элементов математического анализа – оказали заметное влияние на развитие российского математического образования.

В середине 60-х годов страна приступила к реализации крупномасштабной реформы содержания школьного образования, проходившей под лозунгами приближения содержания обучения к уровню современной науки. Реформа школьного математического образования, во главе которой стоял наиболее авторитетный в стране математик А.Колмогоров, несомненно, в заметной степени вдохновлялась идеями Н.Бурбаки. Планировалось, во-первых, существенно почистить курс математики, избавив его от архаизмов. Во-вторых, преодолеть традиционный барьер между “элементарной” и “высшей” математикой, активно используя идеи, выраженные еще в начале века. Наконец, предлагалось заметно модернизировать язык школьной математики.

Первые две задачи в целом решить удалось. Исключением здесь стала привлекательная идея построения геометрии на основе геометрических преобразований, что, видимо, принципиально невыполнимо в школе по психолого-педагогическим соображениям. Дело в том, что единичный шаг рассуждения, осуществляемого, скажем, при решении задачи – выполнение конкретного преобразования – оказывается чересчур трудным для ребенка по сравнению с традиционным рассмотрением треугольников.

Не удалось также ввести в школу изучения элементов математической статистики и теории вероятностей. И здесь объяснение неудачи следует искать в области педагогики и психологии: изложение этого материала требует рассуждений “на пальцах”, резко контрастирующих со “строгими” доказательствами в других частях российского курса математики, и эта стилевая путаница с трудом воспринимается детьми. По этой же причине плохо идут приближенные вычисления, некоторые вопросы геометрии и математического анализа.

Наиболее серьезные неприятности подстерегали реформаторов в серьезной модернизации математического языка. Использование теоретико-множественного подхода, т.е. попытки введения основных математических понятий на базе теоретико-множественных моделей и языка привели к неоправданному усложнению курса. Понятия вводились формально, вне сферы их последующего применения. Так, понятие функции вводилось на базе понятия отношения – в качестве аргумента приводился довод, что оба понятия имеют в своей основе одну и ту же теоретико-множественную модель пар. Критики такого подхода говорили, что с равным успехом можно было апеллировать, скажем, к тому, что в английском языке слова “function” и “relation” записываются с помощью 8 букв. Иными словами, наличие общего формального признака не может служить основанием для содержательного сближения различных понятий.

Несмотря на значительные издержки, которые пришлось исправлять, в целом итоги реформы математического образования следует признать безусловно положительными. Удалось существенно осовременить школьный курс математики, избежав при этом крайностей “New Math” и сохранив весь потенциал отечественных традиций.

В процессе коррекции результатов реформы при попытках согласовать разные педагогические позиции родился принципиально новый способ нормативного задания содержания математического образования. Его суть заключалась в том, что впервые в практике СССР государство отказалось от чрезмерной унификации программ и от тотального контроля их исполнения в пользу фиксации обязательного объема содержания образования и требований к результату обучения. Тем самым были созданы благоприятные возможности для легитимной реализации различных педагогических подходов к обучению математике, что не замедлило сказаться на появлении в массовой школе в 80-х г.г. (опять-таки впервые в педагогической практике послевоенной страны) различных “параллельных” учебников. Сегодня это подход считается общепризнанным, и современные образовательные стандарты для школы строятся на основе его идей.

Серьезные и не всегда позитивные изменения происходят в школьной математике постсоветского периода. Иные из них отражают общие беды российского образования эпохи построения “светлого капиталистического будущего”: снижение социального статута профессии педагога, катастрофическое старение учителей, невостребованность науки и качественного образования. Другие изменения теснее связаны с математикой: падение престижа математического образования, значительное сокращение доли математики в учебном плане школы (на 20% по сравнению с периодом 60-х), введение неадекватных контролирующих процедур, основанных на тестировании и т.п.

Однако, на наш взгляд, ситуация не является необратимой. Движение за сохранение традиционных качеств российского математического образования набирает силу. Все громче звучит голос сторонников “разумного консерватизма” – противников необоснованных и поспешных инноваций, способных разрушить отечественную школу. Авторитета и влияния этой группы достаточно, чтобы развернуть процесс и направить его в нужное русло.

Основные характеристики российской школьной математики

Мы выделим здесь лишь несколько существенных, на наш взгляд, качеств, которые являются характерными для отечественной традиции школьного математического образования и которые должны быть сохранены при любых реформах и модернизациях.

Общекультурная направленность. Говорят, что наиболее глубинные характеристики народа прослеживаются в его языке. Русский термин “образование” переводится обычно как “education”, но при этом из содержания понятия исключается его духовно-нравственная составляющая. На самом деле слово “образование” имеет в своей основе слово “образ” (image) и означает процесс создания человека по образу и подобию божьему. В российской педагогической традиции духовно-нравственное общеобразовательное начало всегда имело приоритет по сравнению с другими, более утилитарными целями.

В этом смысле применительно к школе в словосочетании “математическое образование” ударение следует ставить скорее на втором слове, чем на первом. Задача освоения математики уступает лидирующее место задаче сотворения человека в процессе изучения математики, в чем проявляется глубокий гуманитарный смысл общего математического образования. Поэтому современная тенденция гуманитаризации образования означает не столько насыщение учебного плана школы так называемыми “гуманитарными” предметами, но скорее усиление внимания к общекультурным аспектам всех учебных предметов.

Традиция, в рамках которой математика рассматривалась не с узко прагматических позиций, но как инструмент развития личностных интеллектуальных качеств, сложилась еще в классической гимназии, исповедавшей цели формального образования. Это направление иллюстрируют примечательные слова основателя первого в России Московского университета М.Ломоносова: “Математику уже потому изучать надо, что она ум в порядок приводит”.

В России общепризнан громадный нравственный, социальный и интеллектуальный потенциал математического образования. В плане воспитания нравственных качеств личности обучение математике вносит существенный вклад в формирование интеллектуальной честности и ответственности, настойчивости и целеустремленности, инициативности и самостоятельности, воображения и изобретательности… В социальном плане существенны коммуникативные навыки точного выражения мысли, определения и рассуждения, умения критически воспринимать суждения, формулировать, доказывать и опровергать… Элементом социализации ребенка является и мировоззренческий аспект, связанный с осознанием роли и места математики в человеческой культуре. Этот аспект, возможно, лучше всего характеризуют известные слова: “Математика – это язык, на котором Бог разговаривает с Природой”. Наконец, нет нужды здесь характеризовать многочисленные интеллектуальные качества, формирующиеся при изучении математики. Подчеркнем, что обучение математике не просто способствует развитию определенных личностных качеств ребенка – многие из них невозможно сформировать и развить вне обучения математике.

По этой причине общее математическое образование в России рассматривается как благо, которое должно быть доступным каждому человеку, а не только будущему специалисту в математически емкой области деятельности.

Фундаментальный характер. Для слабо образованного в математике человека содержание школьного курса представляется набором равноценных утверждений, в котором малозначащие факты кажутся равноценными, а иногда и более ценными, чем действительно серьезные утверждения. Если таким человеком оказывается учитель школьной математики, то подлинно существенные элементы курса, определяющие его общекультурную значимость, могут оказаться погребенными под грудой технических деталей

На самом деле понятия, идеи, утверждения, встречающиеся в школьной математике, далеко не равноценны с позиций общей культуры. Понятие линейной функции несравнимо важнее понятия квадратичной функции, а утверждение об обратимости монотонной функции более значимо, нежели констатация того, что обратное утверждение неверно.

Отмеченная неоднородность школьной математики подчеркивает роль и значение фундаментальных понятий и идей самой математики как основы построения школьного курса. Фундаментальный характер школьной математики проявляется в том, что ее содержание формируется на основе этих “больших идей”, что обеспечивает общекультурную, а не прагматическую направленность школьного математического образования.

Поверхностный взгляд со стороны часто видит лишь прагматический аспект математического образования – своеобразную “математику для”. В рамках такого подхода содержание математики “для всех” определяется нехитрыми соображениями типа: нужно уметь считать, чтобы расплатиться в магазине, нужно владеть процентами, чтобы планировать прибыль, нужно вычислять по несложным формулам и решать пропорции, чтобы осваивать смежные предметы, и т.д. Безусловно, содержание подобного типа необходимо; однако, оно занимает лишь часть всего объема содержания общего образования – его “функциональный компонент”, предусматривающий овладение базовыми социальными, коммуникативными и интеллектуальными умениями на уровне функциональной грамотности.

К “фундаментальному компоненту” относится то содержание образования, которое обеспечивает освоение важнейших идей и ценностей человеческой культуры, формирование мировоззрения и миропонимания человека, включенного в современную культуру. “Большие идеи” математики образуют своеобразный каркас школьного курса. Они же непосредственно “выходят” на общие мировоззренческие категории и проясняют их. Так, неограниченность натурального ряда чисел закладывает основу понимания бесконечности, а, скажем, факт несоизмеримости стороны и диагонали квадрата иллюстрирует ограниченность наших формальных возможностей.

Функциональный и фундаментальный компоненты не независимы, они пересекаются по содержанию, которое является особенно существенным и важным. Объединение же этих компонент образует базовое ядро содержания образования, сохранение которого в процессе модернизации школьной математики следует контролировать.

Наконец, в содержание курса включается учебный материал, не относящийся к базовому ядру и служащий целям иллюстрации понятий и идей ядра или полем их приложения. Например, конкретный пример арксинуса является иллюстрацией и полем приложения фундаментального понятия обратной функции. Подобный “технический” материал составляет третий, “вспомогательный компонент” содержания образования. Содержание вспомогательного компонента не обладает значительной общеобразовательной ценностью и может заметно варьироваться. Вместе с тем это содержание может оказаться чрезвычайно важным для отдельных категорий учащихся – например, для тех, кто планирует продолжение образования по профессиям, связанным с математикой.

Описанное выше членение содержания образования на функциональный, фундаментальный и вспомогательный компоненты имеет не академический смысл. Оно определяет границы содержания общеобразовательного курса, которые не могут быть нарушены: содержание базового ядра должно быть заложено в требования к обязательному уровню общеобразовательной подготовки.

Для содержания функционального компонента соответствующие требования сводятся к овладению относящимися к нему умениями на уровне функциональной грамотности. Для фундаментального компонента минимальные требования заключаются в ориентации в соответствующем материале, умениях его распознавать и применять при решении задач, прибегая при необходимости к использованию учебника или справочной литературы. Поневоле на ум приходит популярный афоризм: “Образование есть то, что остается в голове, когда мы забываем все, чему учились”, хорошо иллюстрирующий сущность фундаментального компонента.

Систематическое построение математических предметов. Важнейшим средством обеспечения фундаментального характера школьной математики является систематическая конструкция составляющих ее предметов. Традиционно математика в России изучается в следующей предметной структуре: с 1 по 6 классы изучается интегрированный предмет “Математика” (ранее – “Арифметика”), а с 7 по заключительный 11 классы изучаются два параллельных предмета – “Алгебра” (в двух старших классах – “Алгебра и начала анализа”) и “Геометрия”. Разумеется, степень систематичности построения этих предметов различна; она зависит и от возрастных возможностей детей, и от целостности содержания предмета.

Наименее систематизировано содержание предмета “Математика” 1-6 классов, что объясняется прежде всего возрастом детей и интегративным характером курса. Впрочем, уже в рамках этого предмета встречаются разделы, построенные по систематическому принципу: например, изложение вопросов делимости натуральных чисел.

Существенно усиливается степень систематизации при изучении предмета “Алгебра”. Этот предмет имеет конгломератный характер: в его содержание традиционно включаются не только собственно алгебраические вопросы, но и формально не относящийся к алгебре материал типа изучения функций. Средством систематизации в этом предмете является выделение так называемых содержательно-методических линий, внутри которых реализуется систематическая конструкция. В содержании “Алгебры” можно выделить следующие линии: “Числа”, “Тождественные преобразования”, “Уравнения и неравенства”, “Функции” (в старших классах – “Начала анализа”), “Статистика и вероятности”.

Традиционно наиболее систематизировано содержание учебного предмета “Геометрия”, которое строится дедуктивно, причем первые три года изучается планиметрия, а в двух старших классах – стереометрия. Это, конечно, не означает, что вне старших классов учащиеся никогда не сталкиваются с пространственными фигурами. Однако, их рассмотрение выходит за пределы дедуктивной системы и осуществляется в пропедевтических или прикладных целях.

В силу сказанного в конструкции учебных математических предметов значительную роль играет логический аспект математики. В российской школе принято выводить используемые формулы и доказывать формулируемые утверждения. Авторы учебников стремятся к тому, чтобы явно сформулировать или хотя бы прояснить исходные допущения, прибегая при необходимости к избыточным их формулировкам. В рамках конкретной дедуктивной системы они стремятся избегать появления недоказанных утверждений, не относящихся к исходным допущениям. “Рецептурный подход” к обучению математике, таким образом, категорически отвергается.

При изучении математики в 1-6 классах осуществляется начальное логическое развитие детей, необходимое для восприятия систематических курсов. Главным средством логического развития здесь является решение содержательных текстовых задач, осуществляемое не алгебраическими методами, а “старым” путем нахождения ответов на последовательно поставленные вопросы. Кроме того, здесь же реализуется пропедевтическое изучение будущих основных объектов дедуктивных схем (числовых и простейших буквенных выражений, геометрических фигур), и устанавливаются их основные свойства.

При изучении алгебры, помимо содержательных логических умозаключений, для доказательства утверждений и вывода формул активно используется символическое исчисление, формально-оперативный аппарат которого развивается в курсе. Отметим еще один существенный элемент, тесно связанный с символическим исчислением и имеющий непосредственное отношение к логике – обучение исполнению и конструированию алгоритмов. Центр тяжести освоения этой деятельности находится в параллельном предмете “Информатика”, а в алгебре лишь закладываются математические основы информатики.

Наконец, при изучении геометрии реализуется дедуктивная конструкция “от аксиом”, восходящая еще к Евклиду (разумеется, в модернизированном варианте). Для доказательства используются содержательные логические умозаключения, хотя в отдельных местах курса применяется алгебраический аппарат, координатный и векторный методы.
Значительная роль геометрии в российской школьной математической традиции иллюстрируется ее педагогической реализацией в виде отдельного систематического предмета. Представляя собой уникальное сочетание живого созерцания и логики, учебный предмет “Геометрия” эффективно работает на обоих этих направлениях. Непосредственное обращение к наглядному опыту способствует развитию геометрической интуиции детей. Эта интуиция оказывается “всюду плотно” полезной в математике, поскольку геометрия является существенной частью общематематического языка. К тому же геометрия в силу чрезвычайного разнообразия и наглядности своих объектов является неисчерпаемым источником развития творческих способностей школьников. Наконец, целостная дедуктивная конструкция геометрии используется для амбициозной цели показать учащимся образец построения научной теории, знакомство с которым в современных общественных условиях, когда наука является ведущей производительной силой, становится существенным элементом общей культуры.

Обучение математике через деятельность. Российские педагоги говорят, что математика – деятельностный предмет. Имеется в виду, что освоение математики с 1 по 11 класс происходит через разнообразную и насыщенную самостоятельную деятельность учащихся. Деятельность неразрывно связана с умениями ее выполнения, так что любой разговор о деятельности сводится к обсуждению соответствующих умений.

Безусловно, в содержание обучения математике, как и предписывает отечественная теория содержания образования, входят и знания, и умения, и опыт эмоционального переживания, и опыт творческой деятельности. Для российской школьной математики в этой тетраде фаворитом являются умения: общие интеллектуальные (типа умений сравнивать, анализировать и пр.) и специальные математические (типа умений складывать натуральные числа, решать линейные уравнения, доказывать алгебраические тождества и т.п.).

Для многих школьных предметов на первое по значимости место выходят знания. Набор реально осваиваемых умений, к сожалению, выглядит значительно беднее, а то и сводится исключительно к умениям запоминания и воспроизведения. Между тем согласно деятельностному подходу, развиваемому в российской педагогической психологии, знания полноценно усваиваются в процессе специально организованной деятельности учащихся, так что бедность развиваемых умений негативно сказывается на качестве усвоения знаний. В этом смысле математика оказывается в привилегированном положении, являясь своеобразным эталоном реализации деятельностного подхода. Не случайно идеи, развитые в педагогике математики, становятся образцами при конструировании других школьных предметов и отражаются в нормативных документах типа государственных образовательных стандартов.

Умения формируются, закрепляются и проверяются в ходе решения учебных задач. По этой причине задачи становятся чуть ли не основными учебными текстами. В российской школе задачи и упражнения помещались, как правило, не в учебниках, а в отдельных книгах – задачниках (пример утраченной, к сожалению, традиции). Так многие школьники даже не заглядывали в учебники, удовлетворяясь объяснениями учителя и решением задач. Впрочем, и сегодня, когда задачи располагаются в текстах учебников, высокой популярностью на рынке учебной литературы пользуются разнообразные сборники дополнительных задач – для самостоятельной работы, для развития интереса, для повышенной подготовки, для контроля знаний.

Важнейшим педагогическим утверждением является положение о том, что теоретический материал должен усваиваться не посредством тупого запоминания формулировок определений и утверждений, доказательств теорем и вывода формул, но преимущественно в процессе решения задач на их применение.

Согласно этому положению, не следует долго разъяснять детям, скажем, определения внешнего угла треугольника, подводя их к самостоятельной формулировке определения путем предъявления объектов, не обладающих всеми признаками внешнего угла, как это делают некоторые сторонники инновационных педагогических методов. Надо быстро дать определение, не особенно добиваясь его освоения, показать картинку, доказать теорему о внешнем угле, после чего перед учеником открывается неисчерпаемое поле содержательных задач типа “Внешний угол на 20? больше (вдвое меньше) внутреннего. Чему равны углы?”, “Внешний угол при вершине А треугольника АВС равен внешнему углу (меньше внешнего угла) при вершине В. Сравните стороны АС и ВС.”, “Найдите сумму всех внешних углов треугольника.” и д. Очевидно, что после решения серии подобных задач дети навсегда освоятся с понятием внешнего угла треугольника.

Аналогичным образом, российские учителя математики не слишком следуют рекомендациям романтических педагогических теорий об обучении школьников путем самостоятельного открытия ими доказательств математических утверждений. Одно дело – решить несколько пропедевтических задач, облегчающих понимание сложного доказательства. И совсем другое – самостоятельно, пусть даже под руководством учителя, доказать сложную теорему. Ведь ее доказательство может оказаться мало поучительным, громоздким или искусственным, не говоря уже о нерациональных затратах учебного времени. Преследуя цели освоения школьниками умений доказывать математические утверждения, гораздо эффективнее использовать решение задач на доказательство.

Теорема Пифагора или формула разности квадратов одинаковы для всех школьников. А вот задачи на применение теоремы Пифагора или формулы разности квадратов могут существенно различаться по своей сложности. Поэтому задачи могут великолепно служить как целям индивидуализации и дифференциации обучения, так и целям контроля уровня усвоения, становясь тем самым средством управления учебным процессом.

Наконец, прежде всего через решение задач в содержание математического образования проникают столь необходимые опыт эмоционального переживания (ощущение успеха в результате правильного решения задачи!) и опыт творческой деятельности (получаемый при решении большинства математических задач независимо от их сложности).

Развитие интереса и способностей к математике. Непреходящей традицией российского математического образования является особое внимание, которое уделяется развитию интересов, склонностей и способностей школьников к математике. Главным средством, гарантирующим соблюдение интересов математически одаренных детей, является поддержание высокого научного уровня школьной математики. Это обеспечивается заданием высокой “планки” требований к уровню подготовки выпускников в государственных образовательных стандартах, который должен быть реализован в преподавании математики в каждой школе. Тем самым создается преграда, препятствующая снижению уровня преподавания.

Во исполнение этих требований в содержании учебников, содержании учебных задач, непосредственно в учебном процессе реализуются не только относительно низкий обязательный уровень подготовки (соответствующий минимальной положительной оценке), но существенно более высокий потенциальный уровень (отвечающий максимально возможной оценке).

Как следствие, каждый ученик, который и способен и желает осваивать математику на уровне выше обязательного, всегда имеет перед собой ориентир действий, т.е. представление о том, какой теоретический материал необходимо для этого усвоить и какие задачи следует научиться решать. По выражению выдающегося советского психолога Л.Выготского, такой ученик находится в “зоне ближайшего развития”, что, согласно его теории, является решающим условием развивающего обучения.

Впрочем, освоение математики на потенциальном уровне стандартов вовсе не обязательно говорит о математической одаренности школьника или каком-то его особом интересе к математике – для того достаточно обычных учебных способностей и добросовестности. Отечественный опыт свидетельствует, что развитие интереса к математике требует дополнительных целенаправленных усилий, выходящих за пределы урока математики.

Подчеркнем, что не следует смешивать часто встречающееся удовлетворение школьника от учебных достижений, полученных при изучении математики, с интересом собственно к предмету. Учебный успех – важнейшее условие позитивной мотивации учения – может достигаться при полном отсутствии интереса к объекту изучения. Другое дело, что без учебного успеха возникновение и развитие интереса невозможны.

Интерес к предмету – отношение активное. Он предполагает выраженное стремление заниматься математикой: читать математические тексты, решать математические задачи, чувствовать свою сопричастность к грандиозному миру математики. Интерес к математике возникает отнюдь не у всех школьников, и очень редко – в детстве. Напротив, многие математически одаренные дети в детстве не любили математику.

Кроме того, интерес к предмету – отношение развивающееся, растущее, требующее заботливого пестования и внимания. Непродуманные действия педагога, давление и навязывание своего отношения к математике могут оттолкнуть школьника, убив первоначальные ростки интереса. Важно помнить, что интересным становится лишь то, чем ребенок занимается по собственному выбору, добровольно.

Развитие интереса начинается на уроке. Российские учебники и задачники по математике почти обязательно содержат материал, пробуждающий интерес к предмету, Это могут быть занимательные факты, исторические сведения, высказывания известных людей. Однако, главное – это развивающие задачи повышенной трудности, которые в общем массиве задач маркируются особым значком – звездочкой. Решение таких задач – дело сугубо добровольное, это своеобразный вызов ученику. В то же время в глазах учащихся решение задач повышенной трудности высоко престижно и поощряемо учителем.

В возрасте 12-14 лет популярны также занимательные задачи, содержание которых, привлекая необычным или интересным сюжетом, интригует школьника и обращает его внимание на математику. Занимательные задачи были популярны еще в дореволюционной России. В советское время трудами выдающегося отечественного популяризатора науки И.Перельмана была создана замечательные сборники “Занимательная арифметика”, “Занимательная алгебра”, “Занимательная геометрия”, и т.д. Эти книги, написанные в 20-30 г.г., переиздаются и поныне.

Однако, систематическая работа по поиску и развитию математически одаренных детей началась в Советском Союзе в середине 30-х годов с появлением математических олимпиад. Олимпиады породили математические кружки учащихся – сначала при крупных университетах, а затем непосредственно в школах.

На кружках царила ее величество “Математическая Задача”. Участникам предлагались самые разнообразные задачи повышенной трудности, хотя все же соблюдался принцип постепенного нарастания сложности. Постепенно сформировались блоки заданий, примыкающих к одной центральной теме типа “Четность и нечетность”, “Принцип Дирихле”, “Метод полной индукции”, “Геометрические преобразования” и т.п. На этой основе возникли серии изданий “Библиотеки математического кружка” и “Популярных лекций по математике”, а впоследствии появился известный журнал “Квант”. В свою очередь издание популярной литературы немало способствовало развитию математических кружкой и их распространению в школах.

Авторы статьи – в детстве участники математических кружков – вспоминают удивительный и опьяняющий дух свободы и демократизма, царивший на их занятиях. И участники, и руководители (учителя или студенты университета) – все были равны перед величественным зданием математики, и прав всегда оказывался не тот, кто более авторитетен, а тот, кто прав. Неважно, кто твои родители, какие у тебя оценки в школе, как ты выступал на прошлогодней олимпиаде, - важно то, что сегодня ты решил задачу!

В середине 60-х г.г. в школу были введены факультативные занятия по выбору учащихся, долженствующие заменить кружки и придать соответствующей свободной деятельности, так сказать, официальный статут. Далее начали работать механизмы бюрократической машины: способные извратить любые хорошие намерения: раз государство ввело факультативы, то требовалось исполнение централизованных программ, контроль минимального объема групп и пр. На место добровольного выбора пришла обязанность ученика заниматься в выбранной факультативной группе в течение года.

Это и погубило факультативы. Суть дела в том, что начинающийся интерес к математике в возрасте 12-15 лет редко бывает стабилен. Дети этого возраста плохо приспособлены к постоянным усилиям в одном, пусть даже привлекательном направлении. Поэтому дополнительные напряженные систематические занятия одним предметом быстро надоедают им, Удовольствие превращается в принудительную нагрузку, дети перестают ходить на факультативы, и факультативные группы распадаются.

Напротив, в более старшем возрасте (как правило, после 15 лет), когда интерес становится относительно более устойчивым, углубленные систематические занятия любимым предметом становятся привлекательными. Этим объясняется феномен развития школ с повышенной математической подготовкой, популярных в России. Такие школы существуют практически в каждом городе. Среди них есть знаменитые, такие как школы № 2 или № 57 в Москве, школа № 239 в Санкт-Петербурге, в разные годы дававшие добрую половину российских участников международных математических олимпиад. Это направление получило значительный импульс в ходе осуществляемой сегодня в России профилизации старшей школы.

При некоторых российских университетах (Московском, Новосибирском и т.д.) созданы школы-интернаты для математически одаренных детей из сел и маленьких городов. Наконец, при ведущих вузах страны существует сеть заочных математических школ, созданная по инициативе И.Гельфанда.

Актуальные проблемы

Живой организм, каким является российская школьная математика, постоянно испытывает самые разнообразные внешние и внутренние воздействия, на которые необходимо реагировать. В ряде случаев механизмы таких реакций неизвестны или не отработаны, что порождает содержательные научно-методические проблемы. Ниже мы очень кратко охарактеризуем те из них, которые, на наш взгляд, являются наиболее актуальными.

Содержание школьного математического образования. Сегодняшнее содержание школьной математики сложилось под воздействием социальных запросов эпохи индустриальной революции. Для российской школьной математики существенным фактором являлась ориентация содержания на подготовку кадров, способных впоследствии получить профессию инженера.

Некоторая модернизация, произведенная в ходе Колмогоровской реформы, на фоне грандиозных изменений науки, производства, общественного уклада, выглядит уже недостаточной. Сегодня архаичным выглядит сугубое внимание, которое уделяется, скажем, решению усложненных трансцендентных уравнений способами, не применяемыми в “большой” математике. С другой стороны, ряд все более актуальных вопросов математики оказывается за пределами традиционного курса.

Традиционным недостатком отечественного математического образования является его чрезмерная концентрация на внутриматематическом материале и недостаточная прикладная и практическая направленность, что нельзя считать допустимым в эпоху образования для всех.

Поэтому содержание школьного математического образования должно быть откорректировано в следующих направлениях:

• Уточнение и системное задание фундаментального компонента содержания образования.
• Сокращение вспомогательного компонента содержания образования за счет исключения технического материала, утратившего свое прикладное значение.
• Изменение баланса между “непрерывной” и “дискретной” математикой. Существенное увеличение доли “дискретной” математики (математическая логика, алгоритмы, комбинаторика, статистика, вероятности).
• Осуществление прикладной ориентации обучения путем раскрытия возможностей практического применения изучаемого материала.

Методическая система обучения математике. Совершенствование методической системы обучения является лидирующим элементом всех усилий по перестройке педагогических основ советской школы в ее стремлении уйти от педагогики подавления и лжи к педагогике свободы и гуманизма. Определяющей здесь является позиция отказа от сталинской модели выпускника системы образования как будущего “винтика” большой государственной машины, обладающего заданными качествами и вполне заменимого другим “винтиком”. На смену ему приходят уважение к личности и интересам ребенка и признание его права на выбор собственной образовательной траектории. Это не означает, конечно, что школа должна идти на поводу сиюминутных настроений ребенка – реальная линия обозначается популярным ныне термином “сотрудничество учителя и ученика”.

В области российского школьного математического образования приходится признать, что наши недостатки являются продолжением наших же достоинств. Мы неплохо умеем обучать школьника, проявляющего интерес к изучению математики и имеющего определенные математические способности. Однако, продекларировав культурную ценность математического образования для всех, мы на практике обучаем всех так, как следует обучать лишь высоко мотивированных детей. Стремление обеспечить максимально возможный уровень математической подготовки учащихся часто оборачивается недопустимым давлением на слабого или плохо мотивированного ученика, отвращающим его от математики и от школы.

Между тем заявленная в нормативных документах дифференциация образования по уровням усвоения могла бы существенно облегчить изучение математики для слабых или незаинтересованных учащихся, сохранив при этом высокую планку потенциальных возможностей для относительно более сильных детей. Для этого нужно обеспечить такому школьнику реальную возможность самостоятельного выбора уровня усвоения не ниже обязательного. Иными словами, не давить на ребенка, побуждая достичь максимально возможного результата, но согласиться с его правом отказаться от этой цели. Для ученика обязательными могут быть только требования обязательного уровня, тогда как достижение более высоких уровней должно быть делом сугубо добровольным.

Однако, реальная возможность выбора появляется лишь тогда, когда ученик знает, что он обязан, а что выбирает. Следовательно, обязательный уровень подготовки должен быть известен не только учителю, но и ученику: соответствующие требования должны быть “открытыми” для ученика. Учитывая деятельностный характер предмета, наиболее естественным способом трансляции обязательных требований учащимся является установление перечня соответствующих им эталонных задач – “обязательных результатов обучения”. Ориентируясь на эталон, ученик получит возможность проектировать свою образовательную траекторию, самостоятельно и добровольно выбирая индивидуальный уровень освоения.

Как показывают результаты многолетнего педагогического эксперимента, описанная идея, доведенная до уровня педагогической технологии, преобразует учебный процесс, привнеся в него такие элементы как появление чувства уверенности в своих силах и положительной мотивации учения у слабых школьников, ликвидация педагогических и психологических перегрузок, формирование умения выбирать и нести ответственность за свой выбор, сотрудничество учителя и ученика. Эти направления особенно актуальны в сегодняшней школе.

С учетом сказанного система обучения математике в школе должна быть реформирована в следующих направлениях:

• Определение и формальное описание умений, освоение которых должно быть обязательным для всех учащихся.
• Построение перечня эталонных учебных задач, характеризующих уровень обязательной подготовки школьников.
• Явное выделение обязательного материала в учебных текстах.
• Перестройка системы контроля на основе разделения контроля на обязательном и повышенном уровнях подготовки. Осуществление добровольности контроля на повышенном уровне.
• Использование компьютеров как информационного и управляющего ресурса.

© В. Фірсов, О. Семенов, 2004.