ВХІД             Реєстрація

ПЕДАГОГІЧНІ ВИДАННЯ / е-журнал «Педагогічна наука: історія, теорія, практика, тенденції розвитку» / Архів номерів / Випуск №2 [2009] / Л. О. Латотін, Б. Д. Чеботаревський. Деякі проблеми реформування математичної освіти в Білорусі

УДК 372+378

Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский

НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ РЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В БЕЛАРУСИ

Анотація. У статті розглядаються проблеми реформування математичної освіти, пов'язані з підвищенням строгості визначень і структурованості навчального матеріалу.
Ключові слова: математична освіта, реформування, означення понять, структурування, навчальний матеріал.

Аннотация. В статье рассматриваются проблемы реформирования математического образования, связанные с повышением строгости определений и структурированности учебного материала.
Ключевые слова: математическое образование, реформирование, определение понятий, структурирование, учебный материал

Abstract. In article are considered problems of the transformation of the mathematical education, connected with increasing of the strictnesses of the determinations and structuredness of the scholastic material.
Keywords: mathematical education, transformation, determination notion, structuring, scholastic material

Изменения, произошедшие в современном мире, увеличившийся динамизм жизни обусловили потребность в изменении парадигмы обучения. Знаниецентричная школа должна быть преобразована в культуросообразную. В культуросообразной школе знания не утрачивают своего значения, но изменяются акценты в обучении. Школа должна не только дать учащемуся определенные знания, но и научить его ими пользоваться, самостоятельно пополнять их. На первый план выходит развитие личности учащегося.

Реформа системы образования своей основной целью имеет приведение общеобразовательной школы в соответствие с требованиями времени. Общие подходы к организации обучения математике в реформированной школе определяет концепция математического образования. Она предполагает обеспечение учащемуся выбора максимального удобного обучения математике. Обязательства школы перед учащимся и требования общества к его минимальной математической подготовке фиксирует стандарт математического образования, конкретизируемый в программе. Содержание программы раскрывается в учебнике.

На каждом этапе реализации реформы, в том числе и при создании учебника, возникают свои проблемы. Основу содержания любой науки составляют понятия, проблемы, иллюстрации которых в учебнике мы рассматриваем в этой статье.

Вводимое понятие требует использования процедуры определения, которое может быть как явным, так и неявным. Ясно, что в досистематическом курсе математики многие понятия вводятся неявно, причем это не только исходные понятия определенных математических теорий, но и такие, для которых возможны явные определения, но они нецелесообразны по дидактическим соображениям. Проиллюстрируем это примерами.

Уже в IV–V классах приходится говорить о понятиях, которые являются бесконечными объектами. Это понятие натурального ряда чисел, луча, прямой, плоскости. Возникает проблема – дать доступное для учащего соответствующего возраста толкование понятия, сохраняя при этом научную корректность. Сформировать у учащихся правильные представления о таких понятиях – сложная проблема, которая не может быть решена однозначно, а требует неоднократного рассмотрения. Начинать формирование представлений об этих понятиях целесообразно через использование идеи потенциальной бесконечности.

Бесконечность множества натуральных чисел учащимся можно объяснять так. Нельзя указать наибольшего натурального числа. Какое бы большое число a мы не назвали, следующее число a+1 больше a. Наибольшего натурального числа не существует. Натуральный ряд чисел имеет начало и не имеет конца.

Бесконечность, неограниченность прямой можно объяснять так. Пусть дан отрезок MN. Если продолжить отрезок MN за точку N, то будет получаться новая фигура, называемая лучом MN. Луч MN имеет начало M и не имеет конца. Если продолжить отрезок MN за точки M и N, то будет получаться новая фигура, называемая прямой MN. Прямая MN не имеет ни начала, ни конца.

Основная цель этих объяснений – сформировать у учащихся правильные представления о наиважнейших свойствах соответствующих понятий. Для натурального ряда – это такие свойства: натуральный ряд имеет начало и не имеет конца; каждое натуральное число имеет следующее; каждое натуральное число можно получить из единицы прибавлением единицы.

Для прямой – это свойства: прямая не имеет ни начала, ни конца; прямая ни в каком месте не искривляется.

Понятие выражения можно явно определить следующим образом.

а) Каждое число является выражением;
б) каждая переменная есть выражение;
в) если А – выражение, то (|A|), (vA), (sinA), (cosA), (tgA), (ctgA), (arcsinA), (arccosA), (arctgA), (arcctgA) являются выражениями;
г) если А и В – выражения, то (А+В), (A–B), (A?B), (A?B), (A/B), (А^В), (^ВvА), (log_АВ), являются выражениями;
д) других выражений нет.

Понятно, что набор действий, используемых в определении, зависит от того, какие действия известны ученикам на данном этапе обучения. Вместе с тем на том этапе обучения, когда выражения становятся объектом изучения, такое определение по дидактическим соображениям невозможно. Тут представляется оправданным введение изучаемого понятия содержательным объяснением типа: «Под выражением понимается запись, который образуется из чисел и переменных с помощью действий и скобок” с дальнейшим приведением примеров выражений и специальным подчеркиванием того, что отдельное число или переменная также считаются выражениями.

Такое объяснение можно рассматривать как контекстуальное определение выражения. Для практического использования понятия выражения достаточно представления о том, что выражение образуется из чисел, переменных и других выражений с помощью действий. Ясно, что усвоение понятия выражения требует также усвоения правил употребления скобок, в частности, того, что скобки в выражении употребляются парами – одна правая и одна левая, правил опускания скобок.

Пример с выражениями показывает, что при введении понятия возникает проблема выбора удобной формализации определения. Удельный вес логической компоненты постепенно должен увеличиваться, поскольку учащихся нужно готовить к изучению систематического курса геометрии и алгебры. Определенные логические элементы появляются уже в начальной школе, где некоторые понятия вводятся явными определениями.

“Четырехугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником” [1, с 104].

“Число, которое делится на 2, – четное” [1, с 182].

“Треугольник, который имеет тупой угол, называется тупоугольным” [2, с 58].

Понятно, что по мере накопления понятий должно проводиться их логическое упорядочение, элементы которого необходимы и в объяснительных текстах учебников. Например, упорядочение видов треугольников на основе сравнения длин сторон можно провести так.

Некоторые стороны треугольника могут оказаться равными. Равных сторон в треугольнике может быть две или три или не быть совсем. Треугольник, у которого есть хотя бы две равные стороны, называют равнобедренным. Треугольник, у которого три равные стороны, называют равносторонним. Треугольник, у которого нет равных сторон, называют разносторонним. Соотношения между этими понятиями можно показать схемой на рисунке 1.

Разработка пояснительных текстов требует осмысления трактовок понятий, оценки целесообразности этих трактовок. Рассмотрим для примера трактовку видов четырехугольников. Наиболее распространенным является выделение из четырехугольников двух видов – трапеций и параллелограммов. Трапеция определяется как четырехугольник с одной парой параллельных сторон, а параллелограмм – как четырехугольник с двумя парами параллельных сторон (см., например, [3, с. 55], [4, с. 92]), т.е. трапеция и параллелограмм, как понятия противопоставляются.

Вместе с тем логичность эта не оправдана, поскольку все признаки содержания понятия трапеция есть и в содержании понятия параллелограмм. Наличие указанной связи признаков поясняется тем, что признаки трапеции порождаются признаком иметь пару параллельных сторон, а этот признак есть и в содержании понятия параллелограмм. Однозначно, что ситуация здесь аналогична ситуации с парой понятий равнобедренный и равносторонний треугольник.

Указанные аргументы свидетельствуют в пользу того, что трапецию целесообразно определять как вид параллелограмма: параллелограммом называется трапеция, у которой стороны другой пары также параллельны. При этом подходе учащиеся сознательно переносят свойства трапеции на параллелограмм. Соотношения между понятиями четырехугольника, трапеции, параллелограмма показаны на схеме (рис. 2).

Разработка учебника требует от авторов решения проблемы выбора терминологии, которая бы правильно иллюстрировала содержание понятия, не противоречила терминологии, принятой в математической науке, соответствовала возрастным возможностям учащихся. Всем известно отличие школьных названий свойств арифметических действий переместительность, сочетальность, распределительность от тех, что используются в математической науке: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и понятно, почему в школе используются преимущественно термины первой группы. Вместе с тем не всегда термины, введенные в школьную математику, можно признать удачными.

Выразительным примером неудачного термина является словосочетание смешанное число. Этим термином обозначают запись вида 5⁶/₇, которая означат сумму 5+⁶/₇. Но запись не есть число. Запись есть форма выражения числа. Например, записи ²/₃, ⁴/₆, ⁶/₉, ⁸/₁₂, 0,666…, 0,(6) выражают определенные рациональные числа, но сами они называются дробями: первые четыре – обыкновенными, две другие – десятичными.

Термины-словосочетания натуральные числа, целые числа, рациональные числа, вещественные числа, дробные числа, иррациональные числа, четные числа, простые числа, составные числа, c компонентом число обозначают определенные множества чисел. А какое множество связывается с названием смешанное число? Вместе с тем, поскольку для сокращения речи записи вида 5⁶/₇ нужно определенным способом называть, более подходящим является словосочетание смешанная дробь, поскольку оно выполняет роль, аналогичную роли других словосочетаний с компонентом дробь: обыкновенная дробь, десятичная дробь, правильная дробь, неправильная дробь, конечная дробь, бесконечная дробь, периодическая дробь, непериодическая дробь, цепная дробь, десятичная дробь, двоичная дробь, появляющихся в той или иной форме выявления числа.

Обращает на себя внимание неурегулированность терминологии, связанной с выражениями. Здесь необходима однозначность имеющихся разных толкований термина алгебраическая дробь. Одни авторы под алгебраической дробью понимают дробь, числитель и знаменатель которой являются целыми алгебраическими выражениями (см., например, [3, с. 166; 6, с. 98]. Другие к алгебраическим дробям относят более широкий класс выражений, именно выражений, образованных из чисел и переменных при помощи действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в рациональную степень (см., например, [7, с. 80] . Нам представляется более приемлемым второй подход. Анализ выражений и соответствующих терминов, рассматриваемых в школьной математике, позволяет прийти к следующему их разделению.

Под выражением понимаются записи, образованные из чисел и переменных с помощью действий. При этом к действиям в школьной математике относят сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в рациональную степень, извлечение корня, нахождение логарифма, нахождение синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.

Все выражения делятся на числовые выражения и выражения с переменными. Выражение называют числовым, если в нем нет ни одного вхождения ни одной переменной. В том случае, если выражение содержит хотя бы одно вхождение хотя бы одной переменной, его называют выражением с переменными. В противном случае числовые выражения называют арифметическими.

Из всех действий, изучаемых в школьной математике, выделяются те, выполнение которых сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению. Кроме четырех названных действий, это еще возведение в целую степень и извлечение корня. Действительно, возведение в натуральную степень сводится к умножению, возведение в целую отрицательную степень – к умножению и делению. Извлечение корня не всегда дает рациональное число, но всегда можно найти ближайшее значение корня с любой заданной точностью, например методом последовательных приближений, что потребует использования только умножения.

Действия сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в рациональную степень (возведение в целую степень и извлечение корня) называют алгебраическими действиями. Действия возведение в иррациональную степень, нахождения значения логарифма, тригонометрических и обратных тригонометрических функций называют трансцендентными действиями. Выражение с переменными, содержащее только алгебраические действия, называют алгебраическим выражением. Выражение, содержащее хотя бы одно трансцендентное действие над выражением с переменными, называют трансцендентным выражением.

Из алгебраических действий выделяется действие извлечения корня, поскольку оно не всегда своим результатом имеет рациональное число. Алгебраическое выражение, содержащее хотя бы одно действие извлечения корня из выражения с переменными, называют иррациональным выражением. Алгебраическое выражение, содержащее только действия сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень называют рациональным выражением.

Из действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень выделяют действие деление, поскольку оно не всегда выполнимо. Рациональное выражение, содержащее действие деление на выражение с переменными, называют дробно-рациональным выражением. Рациональное выражение, содержащее только действия сложение, вычитание, умножение и возведение в целую неотрицательную степень называют целым выражением.

Среди целых выражений выделяют многочлены. Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов, а одночленом – произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

Из дробно-рациональных выражений выделяют дроби с переменными, под которыми понимают дробно-рациональное выражение, в котором последним действием является деление. Среди дробей с переменными выделяют рациональные дроби, т.е. такие дроби, числитель и знаменатель которых являются многочленами.

Любое целое выражение сводится к многочлену, а любое дробно-рациональное выражение – к рациональной дроби.

Проведенный анализ выражения наглядно представляется схемой, данной на рис. 3.

С числовым выражением связывается его значение, т. е. то число, которое получается, когда выполняются все действия, с помощью которых образовано выражение. Тот факт, что не каждое действие всегда выполнимо, порождает выражения, с которым не сопоставляется ни одно число. О таких выражениях говорят, что они не имеют значения. Употребление в подобных ситуациях словосочетания не имеет смысла не корректно, поскольку такие выражения смысл имеют. Например, числовое выражение 4/(1–2) не имеет значения, но имеет понятный смысл: это число, которое будет получено, когда число 4 разделят на значение выражения 1–2. Понимание этого смысла – часть от деления числа 4 на значение выражения 1–20 – и позволяет осознать, что рассматриваемое выражение не имеет значения: нельзя найти такую часть, поскольку делитель, т.е. значение выражения 1–2 равен нулю, а на нуль делить нельзя. О выражении, которое не имеет смысла, наперед ничего нельзя сказать, кроме того, что для нас оно не имеет смысла. Например, запись (a – + мы оцениваем как выражение, не имеющее смысла, поскольку оно не несет никакой информации.

Литература

1. Матэматыка: 1-ы кл.: Падруч. для агульнаадукац. шк. з бел. мовай навучання / М. І. Касабуцкі, А. Т. Катасонава, А. А. Столяр, Т. М. Чабатарэўская. – Мн.: Нар. асвета, 1998. – 192 с.
2. Матэматыка: 2-і кл.: Падруч. для агульнаадукац. шк. з бел. мовай навучання / Т. М. Чабатарэўская, А. Т. Катасонава, М. І. Касабуцкі, У. Л. Дрозд, А. А. Столяр. – Мн.: Нар. асвета, 1999. – 286 с.
3. Киселев А. П. Элементарная геометрия: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1980. – 287 с.
4. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. Для 7 – 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещнение, 1990. – 384 с.
5. Клюквин М. Ф. Алгебра: Пособие для учащихся 6 – 8 классов. – М.: Просвещение, 1969. – 432 с.
6. Алгебра: Пробные учебники для 6 – 8 кл. сред. шк. / Алимов Ш. А., Ильин В. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. – М.: Просвещение, 1981. – 544 с.
7. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Алгебра для самообразования. – М.: Наука, 1964. – 532 с.
8. Математика: 7 кл.: Эксперим. учеб. для шк. с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова, Г. Л. Муравьева, Л. Б. Шнеперман, Б. Ю. Ящин; Под ред. Л. Б. Шнепермана. – Мн.: Ред. журн. «Адукацыя і выхаванне», 2000. – 300 с.

© Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский, 2009.