ВХІД             Реєстрація

ПЕДАГОГІЧНІ ВИДАННЯ / е-журнал «Педагогічна наука: історія, теорія, практика, тенденції розвитку» / Архів номерів / Випуск №2 [2008] / В. В. Фирсов. Методика обучения математике как научная дисциплина

УДК 378+372.851+371.3

В. В. Фирсов

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК НАУЧНАЯ ДИСЦИПЛИНА

Анотація. У статті обґрунтовується ряд положень, що характеризують методику навчання математики як унікальну наукову дисципліну, яка кардинально відрізняється від інших часткових дидактик.

Від редакції. Пропонована увазі читачів стаття - друга з циклу статей, що належать відомому педагогу, науковому й організаційному керівнику ряду широкомасштабних освітянських проектів («Планування обов'язкових результатів навчання математики», «Гуманізація й демократизація обов'язкового навчання на основі рівневої диференціації», «Московські освітні стандарти», «Програма розвитку й удосконалення системи державних освітніх стандартів і тестування»), які реалізовувалися в загальноосвітній школі, починаючи з 80-х рр. минулого сторіччя.

У 1995 році вона була (у скороченому варіанті) опублікована в авторитетному методичному журналі «Nordisk Matematik Didaktik» [6]. З огляду на актуальність питань, що розглядаються у ній, редакція бере на себе сміливість опублікувати її повний – авторський – варіант, який, без сумніву, має зацікавити сучасних дослідників, що займаються концептуальними аспектами часткових дидактик, зокрема, – дидактики математики.

1. Математическое образование как область человеческой деятельности может рассматриваться с разных позиций: как искусство обучения математике, как соответствующее ремесло (know how), как теоретическое знание о закономерностях такого обучения. Выбор одной из этих позиций предопределяет модель, в рамках которой мы ищем ответы на актуальные вопросы математического образования. Однако, в конкретной практике обучения математике эти позиции не абсолютизируются и взаимно дополняют одна другую: там, где нет достоверного научного знания, реально помогают интуиция и опыт. Тем не менее, их повседневное использование не может служить доказательством ненужности или невозможности теоретического знания о математическом образовании.

В 20-м веке было осознано общечеловеческое значение массового математического образования: культурные образцы, ранее транслировавшиеся лишь для элиты, стали доступными для каждого гражданина планеты. Переход к общему математическому образованию инициировал накопление дидактической информации о закономерностях обучения математике, а затем и попытки ее осмыслить, т.е. придать ей статут научно организованного знания. Стала оформляться научная дисциплина, которая в СССР именовалась методикой обучения математике, в Европе - дидактикой математики, а в Западном полушарии – теорией математического образования.

К концу столетия соответствующая деятельность заметно активизировалась, что нашло свое выражение в бурном росте числа исследователей в указанной области, появлении авторитетных научных изданий (L’Enseignement Mathematique, Journal for Research in Mathematics Education, Educational Studies in Mathematics, Nordisk Matematik Didaktik), организации специализированных научных конференций и международных проектов типа ICMI Study «Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity”.

К сожалению, теоретическая проблематика оказывается далекой от сегодняшней практики российского математического образования. У нас сегодня правит бал воинствующая вкусовщина и подчеркнутое неуважение к попыткам теоретической рефлексии собственной деятельности. Учебники «с колес» идут в школу, системы образования скупаются через коррумпированных бюрократов целыми территориями, учитель оставлен без методической поддержки, педагогические исследования не финансируются. Теряются не такие уж многочисленные научные традиции советского периода, а сегодняшняя «методическая наука» сводится к вполне дискредитировавшей себя деятельности по защите диссертаций. Поэтому автор затрудняется сформулировать цель публикации настоящей статьи, содержание которой, по всей видимости, в сегодняшней России не нужно никому.

2. Методика обучения математике находится на стыке различных наук. Она изучает и описывает процесс обучения детей определенного возраста, и поэтому вынуждена использовать результаты и методы возрастной физиологии, общей и педагогической психологии и педагогики. Исследуемые процессы протекают в определенном социокультурном окружении, определяющем как общефилософские подходы к образованию в целом (парадигмы передачи социального опыта, целевые установки образования), так и реальные условия его осуществления (возможности общества и школы). Это требует подключения таких наук как философия, культурология, социология и школоведение. Тем не менее, использование методов родственных наук не включает методику обучения математике в указанные научные области, подобно тому, как использование математического аппарата в физических расчетах не делает математику частью физики. Более того, методические положения не могут быть непосредственным следствием какой-либо одной из указанных дисциплин без учета влияния остальных и специфики математики как объекта изучения. Аналогичным образом общая дидактика несводима, например, к психологии, а методика обучения математике – к общей дидактике.

Для определения самостоятельного научного статута методики обучения математике принципиален вопрос о специфике математического образования, связанной с особенностями предмета математики. Мы ограничимся здесь анализом наиболее традиционной области приложения методики обучения математике – математическим образованием в массовой общеобразовательной школе.

Важнейшим проявлением специфики общего математического образования является оригинальное целеполагание [8], в котором формальные цели образования (воспитание и развитие ребенка) выступают наравне с реальными (усвоение математического содержания, умений применять математику к решению прикладных задач) [5]. Образно говоря, математику в школе изучают не только и, возможно, не столько ради усвоения собственно математики. Культурное значение школьного математического образования оказывается сопоставимым с культурным значением самой математической науки.

Школьная математика характеризуется высокой степенью абстрактности изучаемого материала, не имеющей близких аналогов в других школьных предметах. Объекты усвоения находятся в непрямой связи с действительностью. Парадоксально, что начальные понятия математики (число, множество, точка, пространство, и т.п.) часто даже более абстрактны, чем многие производные понятия. При этом большинство изучаемых в школе математических моделей представляют собой абстракции отнюдь не первого уровня. Соотнесение таких абстракций с действительностью часто выглядит искусственным. Более того, математический материал как бы сопротивляется попыткам примитивной анимации: так, объяснение правил движения шахматного коня посредством ссылки на прыжки реальной лошади мало способствует пониманию шахмат.

Логическая организация математической науки влечет за собой глубокую иерархичность построения школьных математических дисциплин, характеризуемых сильно развитыми внутрипредметными связями. Чтобы добраться до конкретной ветви, надо проделать длительное путешествие по всему математическому дереву: нельзя освоить дифференцирование без овладения тождественными преобразованиями алгебраических выражений, последнее – без усвоения арифметики дробей, а дробями – без знания таблицы умножения. Конструкция других школьных предметов скорее напоминает кустарник, в котором различные элементы мало связаны между собой (не нужно знать что-либо о климате Бразилии, чтобы запомнить столицу Великобритании).

Наконец, школьная математика выделяется многообразием видов деятельности, необходимых для освоения изучаемого материала. Эта характеристика становится особенно наглядной при сравнении математики с такими предметами, как история или география, при изучении которых превалирует один вид деятельности – запоминание. Отметим, что математическая деятельность высоко инструментальна, т.е. позволяет легко транслировать учащимся образцы деятельности посредством предъявления учебных задач, в ходе решения которых эти образцы реализуются [4].

Таким образом, поле приложения наших усилий – школьный предмет “математика” – обладает ярко выраженной спецификой, выделяющей его из числа других школьных предметов и приводящей к тому, что полученные теоретические выводы оказываются применимыми исключительно к обучению математике, но не другим дисциплинам. Иными словами, помимо общепедагогических фактов, утверждений и теорий существуют педагогические факты, утверждения и теории, относящиеся только к обучению математике (но не физике, не истории, не родному языку и т.п.). Указанного аргумента достаточно, чтобы признать за дидактикой математики право на самостоятельный научный статут.

К сожалению, при чтении иных работ в области математического образования обнаружить собственно математику не удается: их педагогическое содержание вполне относимо к обучению любому предмету. Из двух составляющих словосочетания обучение математике в расчет принимается только обучение, а математика проявляется лишь в качестве ритуального эпитета или антуража. Это немедленно выводит подобные работы за рамки рассматриваемой научной области. Более того, я полагаю, что в указанных случаях даже действительно ценные идеи не могут быть реализованы практически: общая педагогика и психология проникают в школу через предмет, будучи опосредованы и оплодотворены предметной методикой.

3. В работах по методике обучения математике в неменьшей степени распространена и противоположная ошибка. Близость великого эталона теоретического знания – самой математики – часто дезориентирует начинающих специалистов, занятых исследованием проблем математического образования. Разрабатывая вопросы методики обучения математике, они стремятся копировать методологию и конструкцию математической науки.

Эта близость часто сбивает с толку даже опытных математиков-профессионалов, побуждая их с пренебрежением относиться к теоретическому знанию, добытому непривычным для них способом. Основываясь на собственном опыте, многие из них искренне полагают, что педагогические решения принимаются исключительно на основе интуиции, опыта, традиций, установившихся мнений и не в последнюю очередь здравого смысла. Нам представляется, что подобная позиция связана с непониманием того, что методика обучения математике строится как область гуманитарного прикладного знания.

Гуманитарный характер методики обучения математике связан с тем обстоятельством, что ее объектом является типично гуманитарный процесс освоения ребенком сложного математического знания. Человек в социуме является вообще одним из наиболее сложных объектов для исследования. Общепризнанно, что так называемые позитивные науки (математика, естествознание) не имеют адекватного аппарата описания и исследования этого феномена: человек плохо помещается в формальной схеме. Напротив, в гуманитарных областях были развиты соответствующие процедуры и наработана определенная методология, позволяющая исследовать социальные объекты и процессы и получать знание о них. Гуманитарный характер методики обучения математике порождает подходы к построению категорий этой дисциплины и к отбору адекватных методов и приемов исследования, не типичных для самой математики.

Так, в отличие от математики, методика обучения математике оперирует с нестрого определенными, “размытыми” понятиями. В качестве примеров можно было бы указать “развитие”, “творчество”, “понимание”, "упражнение", “задача”, “пространственное воображение”, и т.д. Встречающиеся в литературе попытки построения “строгих” определений для понятий подобного рода, как правило, вызывают жалкое впечатление. Более естественным в гуманитарных дисциплинах являются задание понятий через неформальное описание и/или примеры, ориентированные на контекст, в котором будут использоваться эти понятия.

Подобный подход вовсе не является слабостью методики обучения математике и должен применяться вполне сознательно. Дело в том, что использование нестрогих понятий позволяет оперировать с ними в плохо определенных “размытых” контекстах, типичных для гуманитарной сферы. С другой стороны, всякое уточнение их убивает, поскольку сокращает область возможного применения. Интересно, что аналогичные ситуации встречаются и в рамках самой что ни на есть классической математики: блестящей иллюстрацией сказанному является эволюция понятия “многогранник” в геометрии [1].

Естественно, что утверждения, формулируемые с помощью “размытых” понятий, оказываются нестрогими. Это осложняет применение логических схем доказательств в рамках гуманитарных контекстов. Правильные фигуры силлогизмов, будучи примененными к “размытым” понятиям и утверждениям, приводят к их дальнейшему “размыванию”, а во многих случаях и к искажению смысла. Логически рассуждения в области дидактики математики напоминают строительство стенки из кирпичей с аморфными и плохо видимыми гранями. В соответствии с правилами логики мы ставим один кирпич на другой. На самом же деле из-за “размытости” граней кирпичи располагаются иногда со значительным смещением центров тяжести, и в результате стенка опрокидывается.

Поэтому в методике обучения математике на смену доказательным и формализуемым логическим схемам приходят правдоподобные (reasonable) рассуждения, столь хорошо описанные Д. Пойа [3]. Соответственно чисто логические критерии дополняются другими критериями верификации утверждаемых положений.

Каждый из способов верификации гипотез, используемый в дидактике математики, не является доказательством в строго логическом смысле слова. На смену логическому доказательству обычно приходит последовательно выстроенная система правдоподобных умозаключений, приводящих к разумному обоснованию гипотезы или показывающие ее непротиворечивость по отношению к известным фактам. Разумеется, подобный способ верификации дает положительный ответ с некоторой (чаще всего неизвестной) долей достоверности, меньшей единицы. Поэтому важнейшим методологическим требованием становится многообразие доказательств высказанных гипотез, позволяющее повысить достоверность их верификации.

Важнейшим способом верификации гипотез обычно служит педагогический эксперимент: имеющий целью проверку соответствующей гипотезы или ее частей. Педагогический эксперимент как бы помещает теорию в практическое поле, в котором эффективно обнаруживаются как позитивные, так и негативные моменты теории. Особенно ценен для этого поисковый эксперимент, являющийся органической частью исследования. Качественный анализ результатов поискового эксперимента позволяет существенно уточнить предварительные гипотезы исследования и в ряде случаев выдвинуть новые гипотезы и утверждения.

При проведении педагогического эксперимента и анализе его результатов мы должны принимать во внимание своеобразный педагогический “эффект Гейзенберга”, аналогичный известному в квантовой механике: проведение эксперимента изменяет условия протекания педагогического процесса, что “смещает” полученные выводы. Кроме того, следует учитывать невозможность полного воспроизведения условий эксперимента во времени: нельзя повторить урок заново в том же классе.

Для борьбы с этими явлениями прибегают к рандомизации условий эксперимента (управляемому внесению флюктуаций), пытаясь таким образом “погасить” влияние экспериментальных условий или их изменения. Этим же целям служит расширение масштабов эксперимента (в отечественной практике именуемое “опытным внедрением”), элиминирующее влияние фактора эксперимента.

В то же время ценность количественного анализа результатов эксперимента, на взгляд автора, значительно преувеличена. Изощренная техника современной математической статистики слишком часто применяется некорректно. Этому, в частности, способствует некритическое использование компьютерных программ статистической обработки данных, разработанных для использования в статистически однородных областях с известными законами распределения (например, для обработки результатов стрельб или технических измерений). Между тем в обучении математике статистическая однородность и нормальное распределение являются скорее исключением, чем правилом. Впрочем, автор вовсе не отвергает необходимость и полезность статистической обработки результатов педагогического эксперимента, но отводит ему роль лишь одного из способов доказательства.

Так, гуманитарная практика часто прибегает к экспертизе результирующих гипотез и/или промежуточных утверждений, используемых при ее выводе. При этом иногда применяются формализованные процедуры подбора экспертов. Явная формулировка положений, подлежащих экспертизе и, при возможности, соответствующих критериев оценки повышает качество экспертизы и, следовательно, достоверность полученной на ее базе заключения. Опыт показывает, что устроители экспертиз слишком часто пренебрегают этой работой, предлагая экспертам оценивать результат в целом. Как следствие, итоги работы экспертов оказываются плохо сопоставимыми.

Интересным приемом, не имеющим близкого аналога в классической и современной математике, является дискуссия. Здесь речь идет не о спонтанно возникшей, а о сознательно организованной дискуссии как элементе методологии гуманитарного знания. История дискуссий восходит к прогулкам Сократа и “Диалогам” Платона, минует впечатляющий период богословских споров средневековья, и в наше время продолжается в оживленных перепалках на страницах газет и журналов и с трибун конгрессов и конференций.

За столь долгий период накоплен большой опыт организации дискуссий и повышения их результативности. Укажем лишь некоторые применяемые для этого способы:

• Осознанное включение дискуссий в план проведения работ взамен стремления избежать обсуждения и достигнуть единомыслия под предлогом повышения эффективности работы.
• Явное указание позиций (я утверждаю следующие положения) и намерений (я намерен оспорить следующие положения) для обсуждения и критики.
• Анализ исходных предположений и “расшатывание” утверждаемых положений с целью поиска слабых мест работы.
• Поощрение доброжелательной и конструктивной критики. Оппонент не враг, но помощник обсуждаемого. Единомышленники часто не замечают “дырок” в своих выводах и рассуждениях. Пренебрегая дискуссией в ходе выполнения работы, они получают неожиданный провал по ее завершении (в отечественной практике ярким примером может послужить реформа New Math 60-70х г.г.).
• Анализ как положительных, так и отрицательных сторон и последствий предлагаемых решений. Как часто мы видим обсуждения, когда сторонники подхода А обсуждают достоинства А и недостатки B. В это же время сторонники подхода B обсуждают достоинства B и недостатки А.

Исследователь в области методики обучения математике вообще получает очень много от понимания принципиальной диалектичности гуманитарных утверждений. В этом случае легко преодолим парадокс, заключающийся в том, что многие утверждаемые положения кажутся самоочевидными и даже банальными (например – “надо развивать интерес учащихся к изучению математики”). Однако, если подумать, противоположное утверждение тоже покажется очевидным. Анализ указанного противоречия приводит к необходимости определения границ применимости дидактических утверждений. Многие полагают также, что весьма полезным компонентом работы является чувство юмора у исследователя (или ощущение его отсутствия).

Абсолютные положения гуманитарных теорий, как правило, задаются в негативной форме типа “не следует”, т.е. имеют характер принципов запрета. Традиция эта восходит еще к этическим системам древности: достаточно указать на библейские заповеди “не убий”, “не укради” и т.д. Впрочем, подобный подход характерен и для самых современных областей науки: сам термин, введенный В.Паули, заимствован из современной физики. Да и что такое, скажем, закон сохранения энергии, как не принцип запрета: этот закон ничего не говорит о том, как будет протекать физический процесс в замкнутой системе, но требует совпадения количества энергии в его начале и в конце, что запрещает процессы, не удовлетворяющие этому требованию.

В гуманитарной же сфере мы никогда достоверно не знаем, “как надо” – теории, претендующие на подобное знание, справедливо связывают с насилием и тоталитаризмом. Но в ряде важных случаев мы достоверно знаем, как “не надо”, что и выражаем в виде соответствующего положения. Такое положение не всегда имеет внешнюю форму запрета: так, дидактический принцип, якобы в позитивной форме выражающий требование “обучение должно быть посильно детям”, на самом деле запрещает использовать педагогические системы, этому не удовлетворяющие.

Принципы запрета находят значительную сферу своего применения в нормативной документации: учебных планах, программах, стандартах и т.п. [7]. Фактически все эти документы регулируют некоторые ограничения типа “выделять на математику не меньше указанного числа часов”, “преподавать математику в объеме не меньше обозначенного в программе”, “добиться достижения учащимися уровня математической подготовки не ниже заданного стандартом” и т.п.

Разумеется, методика обучения математике оперирует не только с принципами запрета, но и с утверждениями позитивного толка. Подобные утверждения всегда имеют характер более или менее правдоподобных гипотез, нуждающихся в соответствующих доказательствах.

4. Другой важный аспект методики обучения математике заключается в том, что это прикладная дисциплина, направленная на получение решений, пригодных для их реализации в практике обучения. Практика служит источником методической проблематики: ее потребности и противоречия оправдывают актуальность исследования соответствующих проблем и выдвижения исследовательских гипотез. Практика в форме констатирующего и поискового педагогического эксперимента является одним из главных инструментов исследования. Наконец, практика выступает в качестве основного критерия истинности полученного теоретического знания.

Прикладной характер методики обучения математике более всего проявляется в соответствующей методологии исследований, типичной для прикладных дисциплин [2] . Прикладная направленность школьного математического образования реализуется, в частности, через основанные на этой методологии эффективные способы преодоления противоречий, возникающих в практике.

Отличие методологии прикладных дисциплин от теоретических прекрасно показывает известная шутка: "Теоретик делает то, что можно, так, как нужно. Прикладник делает то, что нужно, так, как можно". Она иллюстрирует очевидную ориентацию методики обучения математике на получение практически приемлемого результата. Планируемая востребованность результатов исследования практикой служит главным основанием для постановки и проведения исследования. Не случайно в отечественном опыте присуждения ученых степеней в области методики обучения актуальность научной проблемы диссертации, как правило, объясняется ее возможностями внести вклад в ликвидацию недостатков или разрешение противоречий в практике. Тем самым позиция “искусство ради искусства”, характерная для многих чисто теоретических работ, в методике обучения выглядит неестественной.

Практико-ориентированное исследование, отвечающее конкретной практической потребности, должно быть выполнено в определенные сроки. Его ограничивают также имеющиеся в распоряжении исследователя финансовые, материальные и кадровые ресурсы. Наконец, существенным ограничением является во многих случаях теоретическая неразработанность многих вопросов в дидактике и смежных дисциплинах. Все это вынуждает исследователя отступать от традиционной методологии “чистых” теоретических дисциплин, подключая эмпирические данные, правдоподобные соображения, а в некоторых случаях – интуитивный выбор.

Исследователи часто стыдятся этих моментов, тщательно их затушевывают в исследовательских отчетах. Это происходит от непонимания специфики прикладной науки, которой нет никакой возможности ждать, когда будут теоретически решены все возникающие вопросы.

Так, школам нужны учебники и соответствующее учебно-методическое обеспечение. Они нужны к определенному сроку, на их создание выделяются определенные средства, в стране есть весьма ограниченное число людей, которые по своей профессиональной квалификации могут участвовать в реализации таких проектов и т.п. Нельзя рассчитывать на то, что теоретические проблемы, связанные с учебниками, будут решены в ближайшее время.

Тем не менее, проекты подготовки учебников вполне могут иметь исследовательский характер. Для этого в процессе его реализации должны применяться научно апробированные методы и процедуры, развитые в педагогической науке, а эмпирический элемент должен контролироваться.

Надо сказать, что подобные схемы характерны для всех прикладных дисциплин, включая прикладную математику. Ведь многие математические процессы, используемые при расчетах, скажем, полета ракет или конструкции ядерных реакторов, не имеют полного теоретического обоснования (например, соответствующих доказательств сходимости). Тем не менее, подобные расчеты производятся, ракеты летают, а ядерные реакторы вырабатывают энергию. Принципиальная возможность использования недоказанных утверждений и даже расходящихся процессов обусловлена тем обстоятельством, что на смену логической непротиворечивости – единственного критерия истинности в самой математике – приходит возможность экспериментальной проверки результата логических рассуждений.

Подобно этому и в методике обучения математике экспериментальная проверка (можно сказать шире – практика), включенная в ткань исследования в качестве его составляющей и контролирующей части, позволяет оперировать эмпирическими данными, правдоподобными рассуждениями, использовать интуицию исследователя и опыт эксперта.

Многовековой опыт математического образования дает нам многочисленные образцы, правила и приемы, которые оказываются полезными при проведении исследований и внедрении их результатов в практику. Упомянем лишь некоторые из них:

• Разумный консерватизм педагога, т.е. (по А. Линкольну) предпочтение, отдаваемое известному и апробированному перед новым и непроверенным. Окружающий нас океан незнания о педагогических (да и о социальных) процессах не позволяет с рациональной достоверностью прогнозировать последствия решений, принимаемых из лучших соображений (вспомните, куда ведут благие намерения). Поэтому позиции исследователя, дающего свои рекомендации школе, приличествует осторожность с ее традиционным лозунгом “не навреди!”
• Понимание эволюционного характера школьных реформ и недопустимости революций. Школьная система высоко инерционна. Она напоминает идущий по океану стотысячетонный танкер. Если рулевой резко повернет штурвал, курс танкера не изменится, а рулевое управление, скорее всего, придет в негодность. Изменить курс танкера можно только плавными и небольшими поворотами руля. Поэтому практика отвергает чрезмерно радикальные предложения исследователей.
• Желательность включения конкретного исследования в более общую дидактическую концепцию, что позволяет упростить процедуры верификации его результатов. Помимо этого, повышается вероятность практического использования результатов неизолированного исследования.
• Ориентация на поиск устойчивых решений, результат которых мало зависит от флуктуаций параметров (условий обучения, квалификации учителей и т.п.). Рекомендации исследователей, основанные на неустойчивых решениях, сложно и дорого внедрять в школу. Опыт также показывает, что дидактические решения, основанные на учете “тонких” эффектов и имеющие поэтому чрезмерно узкую область применимости, не “работают” по причине своей неустойчивости. В то же время более “грубые” рекомендации оказываются более эффективными.
• Соразмерность целей и средств как при проведении исследований, так и при внедрении его результатов. Для измерения размеров при изготовлении молотка не следует пользоваться микрометром. Неправильно также избирать цели, для достижения которых не подходят наличествующие средства. Вообще, распространенное убеждение в том, что цели определяют средства, опасно: в социальных областях оно приводит к выбору неадекватных средств и к появлению неустойчивых решений. Сущность противоположного, «ресурсного» подхода иллюстрируется высказыванием: скажи мне, какие у тебя есть средства, и я скажу тебе, какие цели ты сможешь поставить.
• Использование итеративного подхода при планировании и проведении исследования. Опыт подсказывает, что заранее не всегда удается правильно определить все действия, необходимые для проведения исследования, особенно при реализации больших проектов. Часть выполненных действий оказывается ненужной по существу, что выясняется лишь на последующих этапах работы.

Поэтому не следует “отлизывать” ее части по отдельности. Разумнее попытаться сначала выполнить проект в целом, получив первое грубое приближение к решению проблемы; затем произвести критический анализ полученного решения и на его основе осуществить уточняющую итерацию, и так далее. Сказанное в еще большей степени относится к подготовке научных отчетов, текстов публикаций и диссертаций и т.п.

Литература

1. Лакатос И. Доказательства и опровержения. – М., “Наука”, 1967.
2. Мышкис А. Д. Что такое прикладная математика. // “Проблемы преподавания математики во втузах”. Вып.1. – М.: “Высшая школа”, 1971.
3. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: “Наука”, 1975.
4. Фирсов В.В. Пути повышения эффективности преподавания математики в современных условиях. // “Математика в школе”, 1982, № 5.
5. Хинчин А. Я. О воспитательном эффекте уроков математики. // “Математическое просвещение”, Вып. 6. – М.: “Физматгиз”, 1961.
6. Firsov V. Mathematics Education as Theoretical Knowledge. – NOMAD (Nordisk Matematik Didaktik), Vol.3, No 4, Dec. 1995.
7. Firsov V. Russian Standards: Problems and Decisions. // 8-th International Congress on Mathematical Education. Selected Lectures. – S.F.T.V. "Thales", Spain, 1998.
8. Firsov V., Semenov A. School Mathematics in Russia. // “National Presentations: Russia”, 10-th International Congress on Mathematical Education, Copenhagen, 2004.

©  В. В. Фирсов, 1995.