ВХІД             Реєстрація

ПЕДАГОГІЧНІ ВИДАННЯ / е-журнал «Педагогічна наука: історія, теорія, практика, тенденції розвитку» / Архів номерів / Випуск №1 [2009] / В. В. Фирсов. О прикладной ориентации курса математики

УДК 378+372.851+371.3

В. В. Фирсов

О ПРИКЛАДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ КУРСА МАТЕМАТИКИ

Аннотация. В статье обосновывается ряд положений, определяющих сущность и содержание понятия прикладной ориентации курса математики.

Анотація. У статті обґрунтовується ряд положень, що визначають сутність і зміст поняття прикладної орієнтації курсу математики

Від редакції. Пропонована увазі читачів стаття - третя з циклу статей, що належать відомому педагогу, науковому й організаційному керівнику ряду широкомасштабних освітянських проектів («Планування обов'язкових результатів навчання математики», «Гуманізація й демократизація обов'язкового навчання на основі рівневої диференціації», «Московські освітні стандарти», «Програма розвитку й удосконалення системи державних освітніх стандартів і тестування»), які реалізовувалися в загальноосвітній школі, починаючи з 80-х рр. минулого сторіччя.

У 1977 році вона вперше була опублікована у відомому посібнику «Углубленное изучение алгебры и анализа» (Пособие для учителей (Из опыта работы) / Сост.: С. И. Шварцбурд, О. А. Боковнев. – М.: Просвещение, 1977. – С. 215-239). З огляду на актуальність питань, що розглядаються у ній, редакція бере на себе сміливість опублікувати її ще раз. Ідеї, викладені в ній, не застаріли й зараз і, безсумнівно, будуть корисними для сучасних дослідників, що займаються прикладними аспектами математичної освіти.

ВВЕДЕНИЕ

Школы и классы с углубленным изучением математики возникли и развивались в направлении подготовки будущих математиков. Для выпускников этих школ наиболее естественным путем был либо путь продолжения математического образования, либо работа в областях, существенно связанных с применениями математики и, как правило, с использованием ЭВМ. Вместе с тем заметная доля таких учащихся связывала свою судьбу не с математикой, а с техникой. Сейчас, в момент значительного расширения системы углубленного изучения отдельных предметов, эта доля возрастает, притом не только абсолютно, но и относительно. Это ставит вопрос о специфике математической подготовки таких учащихся в рамках углубленного изучения в школе.

Уровень математического развития, достигаемый в школе при обучении будущего математика, не может и не должен совпадать с подобным уровнем для будущего инженера или техника. При этом объем усваиваемой будущим инженером математической культуры должен заметно отличаться от подобного объема для будущего математика включением тех ее компонент, которые наиболее существенны в инженерно-технической практике.

В первую очередь, это означает перенесение акцента с качественных выводов на количественные, усиление внимания к изучению формализующих и интерпретирующих этапов, показывающих рамки ограниченности математических моделей. Уровень формализованноcти развиваемых математических моделей здесь необходимо отличается от традиционного; в большей мере допустимы и полезны наивно-интуитивные рассуждения, основанные на здравом смысле. Меняется также отношение к глубине усвоения ряда разделов, традиционных в обычном и углубленном изучении. Углубленное изучение математики, проводимое на такой основе, в большей степени, чем это имеет место сейчас, может и должно связываться с изучением физики, черчения, технического моделирования, предметов трудового обучения.

Вместе с тем углубленное изучение математики, организуемое на новой основе, необходимо требует соответствующей прикладной ориентации курса математики, вопросам осуществления которой (по отношению к общему курсу) посвящена настоящая статья.

Принципиальная реформа среднего и высшего математического образования, проводимая сейчас во многих странах мира, является не только отражением новых педагогических идей. В гораздо большей степени эта реформа связана с изменением той роли, которую играет математическая наука в решении задач, возникающих в процессе развития общества.

Наше время характеризуется бурным проникновением математики во все сферы человеческой деятельности. Появление новых наук, базирующихся на математических представлениях и методах исследования, проникновение математики в традиционно далекие от нее области знания и практической деятельности, все более развивающаяся математизация естествознания – все это поставило математику в положение науки с универсальной сферой приложений. Научно-техническая революция необычайно ускорила этот процесс и выдвинула математику на первое место в ряду тех «фундаментальных» наук, развитие которых определяет перспективы научно-технического прогресса.

Становление математики как науки происходило на сложном и диалектически противоречивом пути. Возникнув как чисто опытная естественнонаучная дисциплина, изучающая и обобщающая практику измерения и счета, математика получила в трудах великих греческих ученых известную независимость от практики и трактовалась иногда как творение чистого разума. В этом направлении были получены результаты, во многом определяющие стиль и метод даже современных математических исследований. Второй крупнейший взлет математической мысли, которому человечество обязано открытием дифференциального и интегрального исчислений, снова был обязан своим рождением проблематике, возникшей в сфере приложений. Анализ бесконечно малых в своем начальном состоянии – в трудах Кеплера, Ньютона, Лейбница, Эйлера – не удовлетворял критериям логической строгости, выработанным великими греками; однако, практическая ценность полученных здесь результатов с лихвой окупала временный отход от традиций. Уложенный Коши и его последователями в прокрустово ложе теории пределов, анализ бесконечно малых стал впоследствии вполне традиционным финитным методом, пока развитие теории множеств и математической логики не пошатнуло всего здания математики и не потребовало решительной его перестройки на базе чисто логических конструкций, развивавшихся Гильбертом, Расселом и др. В последние годы математика испытала новый взлет, вызванный открытием новых ее приложений и связанный с именами Н. Винера, А. Н. Колмогорова, К. Шеннона, Дж. фон Неймана. Однако одновременно возникла и чисто логическая школа Бурбаки, старательно избегающая в своих трудах каких бы то ни было упоминаний о связи математики с реальным миром. Этот процесс, по-видимому, будет продолжаться бесконечно, но крайне важно отметить наличие двух противоборствующих и взаимно оплодотворяющих его тенденций.

Развитие математики во все времена определялось двумя движущими силами. Одна – «внешняя сила» – связана с потребностями человеческой практики, понимаемой не в узко утилитарном смысле, но широко – как совокупности умственной и физической деятельности людей. Другая – «внутренняя сила» – вытекает из необходимости систематизации и обобщения накопленного материала, приведения его в порядок в соответствии с канонами математики. Эти силы и проецируют два направления в математике, которые условно можно назвать «прикладным» и «теоретическим». Принципиальные достижения математической мысли всегда были связаны с обоими этими направлениями. Так, казалось бы, чисто «теоретическое» исследование независимости пятого постулата Евклида от остальных аксиом геометрии, предпринятое Лобачевским, Бойяи и Гауссом, привело к существенному изменению наших представлений о мире и легло в основу работ, сделавших возможным открытие принципов относительности. С другой стороны, появление электронных вычислительных машин, целиком обязанное чисто практическим целям, открыло путь к развитию фундаментальных теоретических исследований, связанных с изучением математических объектов дискретной природы.

Любая объективная картина состояния математики не может не описывать этих направлений развития науки, не может определять приоритет той или иной тенденции безоговорочно и на все времена. Пренебрежение прикладной стороной математики может привести к отрыву теории от практики, к возникновению псевдотеорий, единственной положительной чертой которых является их логическая непротиворечивость. Не менее опасно пренебрежение теоретической стороной математики, утилитарный подход к науке, ведущий к забвению фундаментальных исследований и в конечном итоге вредящий практике. Вульгаризация картины науки, забвение одних ее черт ради других, хотя бы и очень важных, – недопустимы. Единство математики проявляется во взаимопроникновении прикладного и теоретического направлений, в их взаимном обогащении и влиянии.

Математическое образование всегда создает в умах учащихся некоторую картину состояния и развития математики. Важно, чтобы эта картина соответствовала реальности, отражала на доступном для учащихся уровне действительные взаимосвязи математики с окружающим миром.

Математическое образование в своем развитии не могло не отразить диалектической сложности характера самой науки. До сих пор еще встречаются апологеты рецептурного изучения математики по Ахмесу: «делай, как предписано». Тем не менее в столь явно выраженной форме подобная методика уже не пропагандируется. Повсеместно принят курс на обучение, основанное на понимании изучаемого материала. Таким образом, не вдаваясь в анализ лежащих здесь проблем, можно констатировать, что теоретическое направление математики находит свое место в математическом образовании.

Показательной в этом отношении является новая программа по математике для средней общеобразовательной школы. В содержание этой программы включены многие важные и новые для школы математические понятия и факты, отражающие на доступном для учащихся уровне математику сегодняшнего дня. Отвлекаясь от непринципиальных в математическом отношении частностей, составители программы пошли по линии повышения теоретического уровня школьного математического образования, приближения его содержания к содержанию математической науки. Заметим, что этот процесс представляется безусловно необходимым не только со стороны теоретического, но и со стороны практического направления математики: практические приложения науки связаны с идейно богатыми математическими концепциями и отражают их уровень. Можно даже сформулировать некую общую закономерность, выражающую тот факт, что повышение научного уровня образования всегда приводит к расширению сферы его возможных приложений.

Однако проводимая во всем мире реформа среднего математического образования иногда вызывает протесты представителей естественнонаучных и технических дисциплин. Это происходит в тех случаях, когда учащимся предлагается чисто теоретический курс математики, методологически оторванный от практики. Содержательное изложение математики в таком курсе подменяется построением формальной модели, мало связываемой с приложениями. При этом даже такие богатые в прикладном отношении разделы математики, как дифференциальное и интегральное исчисления, теория вероятностей и т. п., часто излагаются формально. Включение в подобные курсы прикладного содержания происходит на декларативном уровне, создающем лишь видимость насыщения его прикладным материалом.

Поэтому сейчас, в процессе перехода на новое содержание школьного математического образования, крайне важно методически правильно изложить это содержание, связав воедино теоретическую и прикладную линии в едином курсе математики. Еще более важной становится эта задача при разработке будущего содержания курса математики в школе.

Методическая наука имеет в своем активе значительное число работ, в которых рассматриваются проблемы, связанные с изучением в школе приложений математики. Исследования в этих направлениях, бесспорно, обогатят курс математики в школе, доставив большие возможности вовлечения в процесс обучения знаний, навыков и умений, характерных для «прикладной» математики. Легко видеть, однако, что введения новых прикладных областей в объем среднего математического образования совершенно недостаточно, ибо возможности подобного введения принципиально ограничены. Пожалуй, еще более существенным является то обстоятельство, что ограничены также и возможности введения в школьный курс математики непосредственных иллюстраций практического применения математики к решению внематематических задач. Действительно, само изучение математической теории и развитие умения пользоваться ею для решения чисто математических задач – дело весьма трудоемкое, занимающее львиную долю времени, отводимого на математику в школе.

Таким образом, возникает проблема отражения прикладного направления математической науки при изучении разделов математики, для которых возможности практической иллюстрации в школьном курсе принципиально ограничены и иногда невелики. Исследование этой проблемы необходимо предполагает анализ математической науки как инструмента познания и выявление характерных особенностей процесса применения математики к решению практических задач. На базе такого анализа можно будет выявить специфику прикладного направления в математике и понять, каким образом прикладные аспекты могут быть вовлечены в процесс изучения теоретической математики.

Естественно предположить, что математике можно учить так, чтобы полученным в процессе изучения математическим аппаратом было бы удобно и естественно пользоваться. Иными словами, цель заключается в разработке методики такого обучения, в результате которого (при возникновении у человека необходимости применить к решению конкретной практической задачи полученные на школьной скамье знания, навыки или умения) эти компоненты математической культуры оказались бы подготовленными к такому применению еще в школе. Логично воспользоваться по отношению к гипотетическому курсу математики, обладающему такими особенностями, следующей терминологией: мы будем говорить о прикладной направленности курса математики. Настоящая работа не претендует на исчерпывающий анализ всех возникающих здесь весьма сложных задач. Наша цель скромнее: мы предпримем попытку обосновать возможность прикладной ориентации среднего математического образования, выявив некоторые основные черты, характеризующие прикладную направленность курса математики в школе. Нам представляется, что дальнейшая работа в указанном направлении может способствовать совершенствованию среднего математического образования, заняв свое место в решении общей проблемы политехнизма в школьном образовании.

§ 1. МАТЕМАТИКА КАК ИНСТРУМЕНТ ПОЗНАНИЯ

1. Решение общих содержательно-методических задач обучения математике должно быть основано на исследовании закономерностей, связанных с характером функционирования математической науки. Это обстоятельство делает необходимым анализ роли и места математики как инструмента познания объективной действительности, ее взаимосвязей с другими науками и формами человеческой деятельности. Для этого уточним вначале достаточно известные положения научной философии.

В основе материалистической теории познания лежит признание внешнего мира, существующего независимо от познающего его субъекта, в сознании которого отражается этот мир. Это отражение имеет достаточно сложный характер, не связанный только с тем, что воспринимает человек посредством своих органов чувств. Сознательная деятельность человека позволяет ему не только упорядочивать эти показания, но и создавать модели, не связанные прямо с непосредственным восприятием. Однако признание первичности объективной действительности в многообразии ее форм и закономерностей необходимо предполагает, что эти закономерности, возможно, и не понятые пока человеком, все же отражаются каким го образом и на результатах его сознательной функции, т. е., в частности, и на создаваемых им умозрительных моделях.

Наука представляет собой один из самых мощных инструментов познания. Существо всякой науки заключается в том, что она являет собой организованное знание о мире. Сама совокупность знаний еще не дает науки. Накопление таких знаний, не объединенных в организованную систему, характерно для донаучных стадий развития тех или иных дисциплин. Наука возникает тогда, когда исходная описательная совокупность фактов логическим образом организуется: в этой совокупности выявляются взаимосвязи, позволяющие логически упорядочивать исходные данные и выводить утверждения, относящиеся к множествам таких фактов и к новым фактам.

Разумеется, математическая наука также не миновала стадии донаучного знания. Греки, возможно, первыми заметили, что организация математических фактов, т. е. методы их сопоставления между собой, представляют исключительный по идейному богатству интерес. Не исключено, что это открытие обязано в определенной мере тому, что исходная совокупность фактов была не так велика и, в силу их общности, не так многообразна. Тем не менее в математике (особенно это относится к геометрии) организация исходного материала оказалась в описываемый период настолько плодотворной, что удалось не только произвести абстрагирование на базе исходных фактов, но и построить дедуктивную систему их взаимосвязи.

Переход к строго дедуктивному мышлению в математике диктовался в значительной степени тем обстоятельством, что проверка истинности математических утверждений наталкивалась на серьезные трудности. Достаточно вспомнить, в каких муках рождалось представление о неограниченности натурального ряда чисел, естественно, не подтверждаемое никаким наблюдением. Здесь можно указать на замечательный и, возможно, самый последний в своем роде пример подтверждения математической истины хотя и мысленным, но все же физическим экспериментом – работу Архимеда «Исчисление песчинок», в которой существование больших чисел основывалось на подсчете числа песчинок, которые могут заполнить мыслимую вселенную.

Именно в этом месте и возникло отличие классической математики от других наук о природе. Любая естественнонаучная дисциплина, организуя свои исходные данные, или, как теперь принято говорить, строя модель окружающего мира, имеет способ проверки степени адекватности этой модели исходному явлению, способ проверки правильности своих утверждений. Этот способ сводится к сопоставлению полученных утверждений с теми фактами, которые не вовлекались в процесс получения этих утверждений. Если эти факты опровергают теорию, то, независимо от того, насколько эта теория удачно связывала между собой старые факты, она отбрасывается. Достаточно привести почти современный пример: теория эфирного моря была опровергнута экспериментом Майкельсона, уступив место специальной теории относительности Эйнштейна.

Бесспорно, что в античные времена ученые рассматривали математику как естественную науку, понимая под прямой – траекторию светового луча, под конусом – материальный конус («шишку» – как переводится греческое слово «конус»), и т. п. Однако стройность и точность геометрической структуры – по существу единственной в те времена подлинно научной организации фактов – казались настолько неопровержимыми и самодовлеющими, что, наверное, если бы греки обнаружили, что вычисленный геометрически объем конуса не совпадает с реальным, т. е., что математическая теория не совпадает с экспериментом, они все-таки сохранили бы теорию. Действительно, их вера в математическую теорию была столь велика, что обнаружение парадоксальных по их мнению моментов внутри теории (мы имеем в виду открытие несоизмеримости сторон и диагоналей квадрата) нанесло античной математике такой удар, от которого ей удалось оправиться лишь через столетия. Таким образом, математика эллинской эпохи сформировала представление о ценности собственно математической теории, и это представление осталось в веках.

Представление о математике как о естественнонаучной дисциплине, утверждения которой доставляют нам знания о свойствах окружающего нас реального, а не идеализированного пространства, а поэтому могут быть подвергнуты экспериментальной проверке, оказалось значительно подорванным после открытия неевклидовых геометрий. Именно работы Лобачевского, Гаусса, Бойяи, а позднее и Римана, послужили отправным пунктом возникновения формалистической точки зрения, творцом которой, бесспорно, можно считать Гильберта. В его трудах и в трудах его последователей возникла и оформилась концепция математики как строго дедуктивной науки, оперирующей по заданным правилам над некоторыми неопределяемыми понятиями и отношениями. Программой этого направления могли бы служить слова Рассела: «Математика есть доктрина, в которой неизвестно, о чем мы говорим и верно ли то, что мы говорим». Популяризаторы развили этот тезис до сравнения математики с шахматной игрой: в шахматах тоже некоторые неопределяемые понятия (конь – что это такое?) вступают в заранее заданные правилами игры соотношения. Подобное сравнение уместно разве что при объяснении идеи формального метода: по отношению же к математике оно является бесспорным искажением существа вопроса.

В рамках указанной концепции естественно возникает вопрос о степени произвольности «правил игры», а также о том, откуда они возникают. Некоторые ученые, вдохновленные появлением неожиданных приложений математического аппарата к тем явлениям, о которых не мыслилось в процессе его построения, задают себе вопрос: «Почему «природа» играет в математическую игру?» [1].

По всей видимости, вопрос этот неправильно поставлен. Природа не играет с нами в игры, но люди открывают ее законы и взаимосвязи таких законов. Произвольность выбора правил в математике только кажущаяся. В конце концов она ограничена хотя бы тем, что исходные посылки возникают в голове человека, а следовательно, в определенном смысле детерминированы законами мышления. Кроме того, эти посылки возникают при попытках описать свойства реально существующих объектов (реален не только паровоз, но реально и дифференциальное уравнение), Сказанное, разумеется, не следует понимать так, что невозможно измыслить абсолютно дикие «правила игры». Однако такие правила, во-первых, не будут все же вполне произвольны, и во-вторых, не приведут к содержательной структуре, связываемой с другими разделами математики, и поэтому погибнут за ненадобностью. Сам же факт обнаружения взаимосвязей различных теорий и появления новых сфер их приложения является иллюстрацией существования некоторого более общего правила или закона, пока не познанного людьми.

2. В процессе обоснования формалистической доктрины удалось показать неосуществимость ее идеала. Возникли иные направления и школы, отвечающие на вопрос, какой следует быть математике. Число их продолжает расти. Пожалуй, наиболее поразительным является то обстоятельство, что итоги их работы сравнительно мало затронули материал математической науки. Более того, рекомендации даже влиятельных логико-математических школ без энтузиазма воспринимаются математиками «традиционного направления».

Поучителен пример огромной роли в топологии и современном анализе утверждений экзистенциального характера, отвергаемых многими направлениями в математической логике и основаниях математики.

В чем же причина того, что, пожалуй, большинству из ныне работающих математиков нет дела до многих «новаций» математического характера, и их мало беспокоит тревожное положение самих основ математической науки, вскрываемое парадоксами Рассела или теоремами Геделя? Вряд ли ответ на этот вопрос можно найти, ссылаясь на специализацию, характерную для науки XX века. Причина должна лежать глубже и, что более важно, она не может зависеть от широты математического кругозора того или иного специалиста или специалистов. Причина должна иметь объективный характер. Нам представляется, что правильное объяснение может прояснить следующая аналогия.

Попробуем сравнить математику с языком, тем более, что это сравнение не столь уж произвольно – вспомним выражение Гиббса: «Математика – это язык!». Тогда свод формально-грамматических правил естественно отождествить с набором формальных математических методов, приемов и утверждений. Но сводится ли язык только к грамматике? Наука о языке давно отрицательно ответила на этот вопрос: знаменитая «глокая куздра» Л. В. Щербы показывает это вполне явственно, хотя в то же время и наводит на мысль, что правильная грамматическая конструкция сообщает нам что-то и о существе дела. Наоборот, нетрудно придумать фразу, понятную даже ребенку, но грамматически неверную. Разумеется, эти факты ничего не объясняют, но показывают, что семантика не сводима к грамматике. Аналогично положение и в математике: формальное построение и обоснование какой-либо теории не составляют всего содержания этой теории, хотя и непосредственно с ним связаны.

Естественно, что в историческом плане содержание развитой математической теории предшествовало ее логическому и формализованному изложению. Так, труды Ньютона, Лейбница, Эйлера в анализе изложены «грамматически неверно», что не мешало им тем не менее нести всеми признанное, а теперь уже и формализованное содержание.

Это-то содержание, если угодно, «с е м а н т и к а» математической теории и обеспечивает цельность всего здания математики, позволяет открывать новые факты, не связывая себя пока жесткими правилами математической «грамматики». Реальность, лежащая в основе семантики математики, и позволяет математикам, образно говоря, игнорировать споры о том, через какую букву следует писать математического «зайца».

Что же лежит в основе этой реальности, или, иными словами, что изучает математика? По словам видного американского ученого Р. Куранта, математика изучает м о д е л и, т. е. мысленные конструкции реального мира [2]. К примеру, геометрия предлагает модели, описывающие или отражающие различные стороны окружающего нас пространства. Все эти модели в определенном смысле адекватны отражаемому ими объекту: этот смысл определяется существенными качествами объекта, положенными в основу построения модели.

По этой причине бессмыслен вопрос о том, какая из моделей более истинна, подобно тому, как бессмысленно спрашивать, сколько «на самом деле» прямых, параллельных данной, можно провести через данную точку плоскости. Такой вопрос неверно поставлен.

Математика предлагает набор моделей, каждая из которых отражает те или иные стороны действительности. Вопрос о том, какой из этих моделей следует воспользоваться для того, чтобы с ее помощью получить достоверное знание об интересующих нас реальных объектах, лежит вне сферы математики. Его решение существенно зависит от того, с какой целью мы стремимся получить те или иные конкретные знания, какими средствами для их получения можем располагать, и т. д.

Настал момент, когда мы можем охарактеризовать математику не просто как отдельную науку, но и учитывая ее взаимодействие с другими науками и формами познания. Математика предлагает другим наукам совокупность моделей действительности, обладающих замечательной общностью и применимостью. Если конкретная область знания сумеет уложить свои исходные данные в рамки той или иной математической модели, она автоматически получает в свои руки мощный аппарат, доставляющий ей новые знания об исходных фактах и обнаруживающий ранее не познанные закономерности. Тем самым математическая модель становится как бы инструментом, используемым той или иной конкретной наукой. Силу и мощь этого инструмента прекрасно характеризует известнее изречение: «Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой». Заметим, что в этих словах уже заложено представление о математике как об универсальном инструментарии познания мира.

3. Некоторые исследователи подразделяют весь описанный инструментарий на две взаимосвязанные части – математику теоретическую и математику прикладную. Как правило, подобное разделение производится на основе того, используется или нет тот или иной раздел науки для решения задач, возникающих вне математики. Таким образом, если данный раздел науки применяется для решения возникающих вне математики задач, то его относят к прикладной математике; если же он работает внутри математической теории, его относят к «чистой» математике. Легко заметить, что отнесение математической модели к прикладной или теоретической математике в зависимости от того, имеет она или нет реальный прообраз, является лишь перефразировкой описанного выше правила.

Указанное правило, быть может, и годится для разговорной практики, но не может использоваться в научном исследовании. Действительно, мы уже отмечали, что для многих разделов науки, по сути дела наиболее важных и значимых, указанный критерий неприменим, ибо эти разделы связаны с обоими направлениями в математике. С другой стороны, использование подобного критерия привносит в классификацию фактор временной необъективности: один и тот же раздел науки может относиться то к теоретической, то к прикладной математике (ярчайшим примером может послужить теория групп).

По этим причинам многие математики отвергают указанное выше членение, отстаивая тем самым тезис о единстве математической науки. Последовательными сторонниками такого взгляда являются крупнейшие французские математики, объединившиеся в группу Н. Бурбаки, и их последователи. Концепция математики, принадлежащая Н. Бурбаки, получила значительное развитие и поддержку многих педагогов математики. Так, в программной книге [3] П. Виссио, президента французской Ассоциации преподавателей математики и сторонника концепции Н. Бурбаки – самым решительным образом отстаивается тезис о единстве математической науки. Это единство, по мнению автора, обеспечивается следующими чертами математического метода:

а) единообразием способов рассуждений, применяемых к основным математическим структурам;
б) доминирующей ролью аксиоматического метода;
в) использованием простого, точного и адекватного языка.

Заметим, впрочем, что указанные черты методологии математики вовсе не являются присущими лишь этой науке. Многие разделы других, как естественнонаучных, так и гуманитарных дисциплин, оперируют внутри себя с аксиоматическими дедуктивными системами, описываемыми в точных и однозначных терминах. В качестве примеров можно бы было привести, скажем, классическую механику или, что менее тривиально, теорию порождающих грамматик Н. Хомского. Однако, несмотря на то, что иные науки прибегают к методам, обладающим теми или другими чертами из перечисленных выше черт математического метода или даже всеми этими чертами, все же эти науки не входят в математику, хотя часто получают эпитет «математическая» – например, математическая лингвистика, математическая биология и т. п. Бесспорно, конечно, что для математического метода описанные выше черты характерны в наибольшей степени, однако этого все же мало, чтобы можно было говорить на этой основе о единстве математической науки.

По существу все эти черты вытекают из одного положения, которое, как мы уже отмечали, действительно выделяет математику из ряда естественнонаучных дисциплин, – возможности отказа от обязательной экспериментальной проверки математических утверждений. Именно подобный отказ приводит к необходимости уделять значительное внимание логике точного математического рассуждения, которая становится единственным критерием его корректности. С этой точки зрения, математику можно бы было определить как науку, которая изучает модели реального мира методом, заменяющим характерную для естественных наук экспериментальную проверку утверждаемых положений апелляцией к определенным логическим конструкциям.

§ 2. ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
К РЕШЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

4. Рассмотрение математики как инструмента познания предполагает исследование процесса работы этого инструмента, исследование процесса применения математики к решению возникающих в человеческой практике задач. Это исследование имеет непосредственное отношение к содержательно-методическим вопросам среднего математического образования вследствие основополагающей роли в обучении тех элементов математической культуры, которые многократно участвуют в процессе применения математики. Тем самым мы опять-таки вынуждаемся поставить вопрос о характере этого процесса и о связанных с ним особенностях различных элементов математической культуры.

Процесс применения математики к любой практической задаче естественным образом членится на    т р и     э т а п а.

Первым из них является этап перехода от ситуации, которую необходимо разрешить, к формальной математической модели этой ситуации, к четко поставленной математической задаче – этап   ф о р м а л и з а ц и и.  Решение поставленной математической задачи методами, развитыми в самой математике для задач данного типа, составляет содержание второго этапа – этапа   р е ш е н и я    задачи внутри построенной математической модели. Наконец, третий этап сводится к    и н т е р п р е т а ц и и    полученного решения математической задачи, применения этого решения к исходной ситуации и сопоставления его с нею.

Любая система математического образования не может не учитывать необходимости овладения учащимися элементами математической культуры, относящимися ко всем трем этапам процесса применения математики к решению практических задач. Однако до сих пор уровень математического развития учащихся школы повышался в основном за счет овладения ими теми элементами математической культуры, которые относились к среднему внутриматематическому этапу.

Действительно, ведь изучение математики немыслимо без достаточно глубокого продвижения в теорию. Вместе с тем, раз начавшись, такое продвижение в процессе обучения часто отвлекается от исходного содержания, забывая о реальных истоках. Добавим сюда еще очевидную необходимость развивать чисто технические навыки, как правило, не связанные с реальным содержанием – примером могут служить известные задачи на преобразование и упрощение алгебраических или тригонометрических выражений. Добавим сюда те преимущества, которые получают обучающие, освобождаясь от непринципиальных в математическом смысле вопросов, хотя и важных с иных точек зрения. Добавим сюда и некую элитарную замкнутость – не секрет, что для некоторых «чистых» математиков возможность не выходить за пределы второго этапа, за пределы математической модели представляется весьма привлекательной, причем истоки такого отношения можно проследить даже у античных авторов (Пифагор, Евклид).

В некоторых случаях можно даже говорить о симптомах некоей «модельной» болезни, когда математическая модель начинает довлеть в умах представителей математической мысли над реальной действительностью, заменяя и корректируя ее. Примером здесь может служить встречающееся во многих популярных книгах и учебниках теории вероятностей обсуждение того, что более вероятно – выпадение герба или цифры при бросании монеты, если известно, что несколько предыдущих бросаний привели к одному и тому же исходу.

Сказанное выше по крайней мере объясняет издавна сложившуюся тенденцию школьной математики почти не выходить за пределы математической модели. В результате практически всюду в школьном курсе учащиеся получают задачи, уже сформулированные на языке модели. Решение их производится также чисто внутримодельными методами, и полученный результат требуется формулировать на языке модели. Такое положение, возможно, устроило бы нас в геометрии, где содержание даже внутримодельных задач все-таки содержательно интерпретируется учащимися на языке геометрических объектов, легко связываемых со своими прототипами. Однако остальное содержание упражнений курса математики фактически сводится к «модельным» упражнениям, во многих случаях развивающим чисто технические навыки. При этом наблюдается тенденция к развитию подобного содержания, когда его объем заведомо превосходит все мыслимые и разумные границы.

5. Пожалуй, единственной иллюстрацией всем трем этапам применения математики, описанным выше, может служить практика решения так называемых текстовых задач, что и обеспечивает этому разделу школьного курса непреходящую ценность. По словам П. С. Александрова, «составление уравнения данной задачи – это и есть тот основной прием, посредством которого математика применяется в естествознании и технике» [4].

Каждая текстовая задача представляет собой описание некоторой реальной или приближенной к реальной ситуации, в которой требуется определить некие величины или сделать качественный вывод, относящийся к самой ситуации. Существенно, что язык представления задачи, т. е. язык, на котором описана ситуация, не совпадает с языком, на котором производится решение, в то время как результат должен быть выдан в терминах исходного языка.

Рассмотрим, к примеру, такую типичную задачу:

Плоты шли из пункта А до устья реки вниз по течению. В устье реки их взял на буксир пароход и через 17 суток и 3 ч после выхода плотов из А доставил их по озеру в пункт В. Известно, что пароход без плотов тратит на путь от А до В 61 ч, а на обратный путь — 79 ч. Скорость парохода с караваном плотов уменьшается вдвое. Сколько времени пароход вел плоты от устья реки до пункта В?

Заметим, что содержание этой задачи достаточно точно описывает некоторую реальную ситуацию. Разумеется, уже в самой формулировке, а точнее говоря, в некоторых неявных условиях, связываемых с подобного типа учебными задачами, заложены некоторые упрощающие моменты, которые делают задачу до некоторой степени формализованной. К их числу можно отнести неявные предположения о постоянстве скорости течения реки и скорости парохода, об отсутствии течения в озере, о том, что скорость парохода на реке определяется алгебраической суммой скоростей парохода и течения и т. п. Однако эти предположения правдоподобны применительно к средним скоростям и не противоречат смыслу самой ситуации. По существу, они дают ее вполне удовлетворительное описание, несмотря на их неполноту. Заметим, кстати, что полное описание невозможно получить в принципе: во-первых, любое описание являет собой определенную формализацию бесконечно разнообразной реальной ситуации; а, во-вторых, степень точности описания не может превзойти степени точности измерений величин, необходимо включающих погрешности.

Решение этой задачи хорошо иллюстрирует описанную выше схему.

Сначала необходимо формализовать исходную задачу, перевести ее условия на адекватный математический язык – в нашем случае на язык уравнений. Поэтому первым шагом следует ввести неизвестные параметры ситуации и выразить через них и известные параметры – основные физические величины – составляющие формулы равномерного движения. После этого составляются уравнения, чем и завершается этап    ф о р м а л и з а ц и и.

Система уравнений, полученная на его выходе, представляет собой математическую модель исходной задачи, адекватную ей в том смысле, что в ней отражены все интересующие нас стороны описанной ситуации, достаточные для получения ответа на поставленный там вопрос.

Заметим, что во многих задачах, предлагаемых в школе, условия не содержат лишних данных, так что в определенном смысле эти условия не только достаточны для получения ответа на вопрос задачи, но и необходимы. Тем самым авторы задач берут на себя часть труда, связанного с необходимостью проверки ответа в переопределенных задачах.

Полученная математическая модель ситуации является ее огрублением и потому, что ей могут соответствовать различные исходные ситуации. В этом случае можно говорить о математическом изоморфизме ситуаций. Однако, если даже ситуации математически изоморфны, т. е. приводят к одним и тем же математическим моделям, они не всегда являются изоморфными в ситуационном смысле, ибо, скажем, ответ, имеющий истолкование в одной ситуации, может быть бессмысленным в другой.

Следующий этап – э т а п    р е ш е н и я    м о д е л ь н о й    з а д а ч и – в нашем случае сводится к решению составленной системы уравнений. Такое решение может быть не связано с содержанием исходной задачи, так что в принципе его можно передоверить другому лицу (что, кстати, довольно часто используется в практике прикладных математических исследований, когда решение формализованной задачи передоверяется либо профессиональному математику, либо ЭВМ). Отметим, что в школьной практике мы все же прибегаем иногда к содержательному истолкованию входящих в модель величин, что позволяет упростить решение математической задачи и проводить его не во всей полноте, отбрасывая неадекватные исходной ситуации, но имеющие математический смысл случаи. Так, извлекая квадратный корень из квадрата неотрицательной по смыслу задачи величины, мы позволяем себе не рассматривать отрицательный случаи. Тем самым мы сообразуем строгость и полноту математического исследования с условиями ситуации.

В случае нашей системы стандартное ее решение приводит к следующим ответам: t₁=224, t₂=20. Оба эти ответа удовлетворяют рассматриваемой системе, т. е. ни один из них не является посторонним корнем, получаемым в результате неравносильных преобразований системы. Поэтому с получением этих ответов второй этап решения задачи следует считать завершенным.

Третий этап – э т а п    и н т е р п р е т а ц и и    полученного решения в нашем случае сводится к так называемой проверке корней. Этот простой вопрос иногда освещается с неверных позиций. Так, часто путают посторонние корни задачи с посторонними корнями системы, или предлагают проводить проверку составлением обратной задачи, в которой неизвестным было бы что-нибудь из данного в условии задачи, и т. п.

Правильное разрешение этого вопроса связано с определением этапа интерпретации, на котором полученные решения проверяются на предмет соотнесения с исходной ситуацией. При этом не может идти речи о посторонних корнях системы – они должны исключиться на втором этапе. Равным же образом не подходит и рекомендация о составлении и решении обратной задачи: если в задаче о числе комбайнов, собирающих урожай с поля в 113 га, получен бессмысленный ответ – 25,7 комбайна, то в обратной задаче с таким числом комбайнов наверняка будет получен ответ 113 га.

Посторонние решения, отвечающие математической модели, но не отвечающие исходной ситуации, могут оказаться вполне осмысленными в иной ситуации, математически изоморфной нашей. Поэтому единственным критерием того, является решение системы ответом задачи или нет, может служить то, имеют ли истолкование в терминах исходной ситуации все величины, вовлеченные в процесс составления уравнений. По этой причине мы немедленно отбрасываем решение t₁=224 ч, ибо по смыслу задачи время, затраченное на движение парохода по реке, не может быть отрицательным, в силу чего общее время движения одного парохода из А в В, например, не может превзойти 61 ч, тогда как в соответствии с рассматриваемым ответом оно много больше. Нетрудно проверить, что ответ t₂=20 ч удовлетворяет высказанному условию. Однако – и это довольно типично для многих прикладных задач – принципиальной необходимости в подобной проверке нет, ибо описанная в условии задачи ситуация предполагается происходившей в действительности, в силу чего задача должна иметь хотя бы одно решение. А так как все решения задачи заведомо должны удовлетворять построенной нами системе, то единственный неотброшенный ответ и является ответом задачи.

6. Мы видим, что в процессе решения текстовой задачи могут быть реализованы все три этапа разобранной выше схемы. Более того, внимательный анализ решения позволяет обнаружить в нем более частные моменты, характерные для деятельности, связанной с приложениями математики.

Так, при переходе от условия задачи к строгой математической модели использовались не доказательные, а правдоподобные рассуждения. Заметим также, что мы не уточняли смысла понятий скорости и пути. По сути дела, единственным нашим требованием было требование соответствия указанных величин формуле равномерного движения, что и позволило произвести формализацию. Для решения задачи вовсе не необходимо постулировать постоянство скоростей и пути: нам было достаточно неявно принятого допущения о возможности использовать формулу равномерного движения.

Очень интересным моментом решения было согласование уровня строгости и полноты математического исследования со смыслом исходной ситуации, т. е. с реальным смыслом величин, входящих в условие задачи. То, что этот смысл привлекается на переходных этапах, вещь вполне естественная, а вот вовлечение содержательных и нематематических соображений в процесс решения собственно математической задачи нетривиально.

Заметим, что проведенное рассмотрение показывает, что даже решение этой, в общем-то достаточно неинтересной задачи, содержит моменты, специфические для прикладного направления математики. Это позволяет надеяться на то, что прикладная ориентация среднего математического образования может быть достигнута на довольно естественном пути.

7. Представляет заведомый интерес критический разбор тех черт математического метода, о которых было сказано ранее, проводимый, однако, по отношению не к чисто модельной проблеме, но к прикладной проблеме, решение которой необходимо следует описанной выше трехэтапной схеме. Такой анализ удобно провести в той же последовательности, в какой рассматривались эти черты в книге П. Виссио.

а) Единообразие способов рассуждений, применяемых к основным математическим структурам, предполагает, что при исследовании таких структур математик задается однотипными вопросами, т. е. исследует их по определенной схеме. Его идеалом является некая сверхструктура, частными случаями которой были бы известные ныне структуры. Поэтому в математике так ценится обобщение и установление взаимосвязей – все это было предугадано Лейбницем в его мечте об универсальном исчислении. Понятно, что более общий подход расширяет сферу приложений используемого исследователем аппарата, усиливает познавательную мощь этого инструмента. Поэтому математик всегда стремится заменить любой инструмент на более мощный, позволяющий выполнить больше работ.

Тем не менее, «мощность» вовсе не является единственным показателем того, каким инструментом следует воспользоваться для выполнения конкретной работы. Универсальность инструмента не обязательно связана с удобством его использования в данном конкретном деле, так что для решения прикладной задачи часто бывает удобнее воспользоваться не универсальным, но зато специфичным для данного класса задач (возможно, узкого) математическим методом.

Суть сказанного выше превосходно угадана в известном анекдоте (из сборника «Физики шутят») о том, как физик и математик заваривают чай. Содержание его показывает, что математик стремится упростить схемы (или модели) заварки чая, тогда как физик стремится заварить чай. При этом, хотя схемы физика оказываются более громоздкими, все же чай он заваривает быстрее!

Высказанное выше соображение в большинстве прикладных исследований трансформируется в требование некоей оптимальности. «... Когда заходит речь о реальных приложениях, к решениям выдвигаются требования, которые в теоретической математике находятся на втором плане. Ведь решение реальной задачи должно быть не только правильным, но и своевременным, экономным по затраченным усилиям, доступным современным вычислительным средствам, удобным для дальнейшего использования. Можно перечислить целый ряд подобных требований, наилучшее соответствие которым можно условно назвать оптимальностью – «оптимальностью по отношению к приложениям» [5] (выделено нами. – В. Ф.).

Требования оптимальности математического исследования прикладной задачи вынуждает исследователя скорее к использованию не единообразных, но разнообразных способов, каждый раз ближе всего подходящих к исследуемой задаче, наиболее адекватных ей и поэтому «оптимальных».

б) Использование аксиоматического метода часто выдается за наиболее характерную черту математики. При этом усиленно подчеркивается, что, в отличие от естественнонаучных дисциплин, математика есть дедуктивная наука. Выше мы уже отмечали, что аксиоматический метод и дедуктивные рассуждения не являются достоянием одной лишь математики. Кроме того, остается открытым вопрос о том, в какой степени реализуется идеал аксиоматического метода «внутри» математики.

По-видимому, когда говорят об аксиоматическом методе, чаще имеют в виду возможность представления математического материала в виде формальной схемы, нежели безусловную обязательность подобного представления. Трудно сказать, не имея в виду этой возможности, что то или иное математическое рассуждение в действительности безупречно дедуктивно. Эта трудность связана и с тем, что действительно скрупулезный анализ всех используемых в рассуждении допущений — дело весьма громоздкое. Практически математик поэтому часто опускает некоторые моменты своего рассуждения, полагаясь на интуицию, здравый смысл и т. п., т. е. руководствуясь той самой семантикой математики, о которой мы говорили ранее. Видимо, более правильно говорить, так сказать, о    «к у с о ч н о–д е д у к т и в н о м»    характере большинства математических выводов. Заметим, кстати, что если говорить не о науке в целом, но о деятельности одного конкретного ученого, это окажется тем более верным, поскольку каждый раз, доказывая тот или иной факт, он исходит не из аксиом, а из некоторого множества посылок, которые, возможно, противоречивы, не независимы, и т. д. Кроме того, он позволяет появиться и формальным противоречиям, не отвергая их с ходу, ибо понимает, что их удастся когда-нибудь и исключить, если в справедливости полученных результатов он не сомневается. Классическим примером здесь могут послужить работы Ньютона, Лейбница и Эйлера в области математического анализа.

С учетом сделанных оговорок тезис о первостепенной роли дедуктивных рассуждений в математике следует в своей основе признать правильным. Кто-то хорошо сказал, что математика не сводится к дедукции, но без дедукции нет математики.

При оценке рассматриваемого вопроса нельзя все же не считаться с тем, что значение дедуктивных рассуждений заметно умаляется, когда мы выходим в область приложений математики и начинаем рассматривать все три составляющих этапа процесса решения прикладной проблемы. По словам А. Д. Мышкиса, «основной водораздел между теоретической и прикладной математикой лежит в характере применяемой логики» [5]. Принципиальной особенностью решения прикладных задач является широкое использование эвристических или правдоподобных рассуждений. Правдоподобные рассуждения играют основную роль при    к о н с т р у и р о в а н и и    математической модели реальных объектов, т. е. на этапе формализации. Дело в том, что сам процесс выделения определенных существенных идеализируемых факторов исходной проблемы может идти лишь на уровне правдоподобия, так что всегда остается некоторая возможность неадекватной формализации. По аналогичной причине контролирующий этап интерпретации, на котором    о ц е н и в а е т с я     а д е к в а т н о с т ь    математического решения, также оперирует с правдоподобными рассуждениями.

Менее очевидным выглядит использование правдоподобных рассуждений на среднем, собственно математическом этапе, объясняемое двумя причинами.

Первая из них сводится к тому, что в процессе полного и точного математического исследования могут выявиться случаи или подзадачи, неадекватные исходной ситуации, в силу чего математическое исследование подобных случаев бессмысленно, если иметь в виду исходную реальную проблему.

Более интересна вторая причина. Ее существо проще объяснить на следующей аналогии: делая ручку для лопаты, мастер не прибегает к помощи микрометра. Говоря более серьезно, формализация реальной проблемы необходимо предполагает некоторую, иногда даже ощутимую погрешность. Имея в виду эту погрешность, в ряде случаев становится    н е р а ц и о н а л ь н ы м    добиваться полного или близкого к полному устранения погрешностей на этапе решения модельной задачи, ибо возникающие здесь погрешности часто составляют ничтожную часть погрешностей формализации и интерпретации. В работе исследователя неявно применяется некоторое согласование уровней правдоподобия рассуждений по отношению ко всем трем этапам решения задачи. Подчеркнем, что это согласование выступает как настоятельная необходимость, обусловленная требованием оптимальности решения задачи.

Приведем пример подобного согласования. Применяемые на практике методы арифметических вычислений без точного учета погрешностей по существу математически некорректны. Это связано с тем обстоятельством, что, как правило, независимые погрешности взаимно погашаются, и на основании вероятностных соображений можно утверждать, что эти правила корректны с достаточно большой вероятностью, допускают все же построение опровергающих контрпримеров. В практике обычных вычислений без учета погрешностей подобное вероятностное рассмотрение проводится, тем не менее, весьма редко, и исследователи просто полагаются на то, что «вероятность вывезет». Конечно, проведение исчерпывающего анализа возможно в каждом отдельном случае, но его проведение полагается нерациональным хотя бы по причине грубых приближений при постановке математической задачи.

Само собой разумеется, что наше доверие к результату, полученному с привлечением правдоподобных соображений, ниже, нежели к дедуктивному выводу. Правдоподобный результат нас все же устраивает, так как в случае решения прикладной проблемы имеется возможность критически проверить полученный результат на этапе интерпретации. В частности, мы можем воспользоваться здесь    э к с п е р и м е н т а л ь н о й    п р о в е р к о й    этого результата. Эта возможность устраняет отмеченное выше отличие между математикой и естественнонаучными дисциплинами и «возвращает» прикладную математику в число естественных наук.

Действительно, мы обсуждали выше последствия отказа от возможности экспериментальной проверки утверждаемых наукой положений и сделали вывод о том, что неминуемым следствием этого должна быть апелляция к формальной схеме. Но коль скоро мы снова можем использовать экспериментальную проверку в решении прикладной задачи, категоричность предыдущего вывода снимается.

в) Использование точного, однозначного и краткого языка всегда считалось одной из наиболее впечатляющих черт математической науки. Математика просто не могла бы существовать без опоры на корректную терминологию, составляющую неотъемлемую часть формальной конструкции. Заметим, что многим наукам, и в частности педагогике, не удалось пока приблизиться к принятым в математической терминологии стандартам. Удобство и ясность математических терминов столь велики, что зачастую даже формулировка задачи на языке, близком по свойствам к математическому, оказывается наиболее важным шагом в процессе ее решения. Поэтому подобная формулировка является первым элементом сотрудничества математиков с представителями многих других наук.

Вместе с тем привычка иметь дело с точными и ясными изложениями иногда приводит к своего рода математическому «снобизму», отвергающему некорректно или неполно определенные понятия, с которыми оперируют другие науки. Однако следует подчеркнуть, что абсолютизация точности, свойственная математике, порой отвергается представителями многих областей человеческой деятельности вполне сознательно. Дело в том, что многие науки оперируют с понятиями, имеющими реальное происхождение и непосредственно наблюдаемые прототипы, тогда как полный перечень всех существенных свойств таких понятий, вычленяющий их из ряда близких (и, возможно, нам еще не известных) понятий, не составлен или даже не составим. Поэтому всякая точная заданность признаков окажется искажением существа дела, в то время как апелляция к реальной семантике и к примерам позволяет делать выводы о неопределенных понятиях, выводы, имеющие характер научного знания. Как правило, подобные апелляции делаются либо при помощи ссылок на примеры, либо при помощи неформального описания понятий.

Заметим, кстати, что нечто подобное встречается и в самых классических областях «чистой» математики.

Существенной особенностью практики решения прикладных проблем является подобное же использование неформализованных и «размытых» понятий. Так, говорят о «хорошем» и «плохом» вычислительном методе, о «быстрой» или «медленной» сходимости, имея в виду не какие-то точные и доказываемые утверждения, но практические наблюдения или даже интуитивную уверенность. Блестящим примером такого неопределенного и размытого понятия является понятие «организации», введенное И. М. Гельфандом и М. Л. Цетлиным в серии работ, посвященных математическому исследованию биологических систем. Другим примером может служить понятие «тезауруса», введенное Ю. А. Шрейдером в его работах по проблемам оценки семантической информации.

Возможность оперирования подобными размытыми определениями на этапе решения математической задачи связана с определенной «устойчивостью» ряда широко известных методов и утверждений по отношению к изменению входных данных. По словам В. Н. Тутубалина, «...с точки зрения применений, математические теоремы бывают хорошими и плохими в следующем смысле: хорошие теоремы продолжают действовать, если даже нарушить их условия, а плохие сразу перестают быть верными при нарушении условий» [6]. Заметим тут же что именно эта устойчивость и обеспечивает подобным методам и утверждениям значительную прикладную ценность, а потому широкую известность.

Таким образом, мы видим, что процесс решения прикладной задачи методами математики обладает рядом специфических черт, роднящих его с аналогичными процессами естественнонаучных дисциплин. Разумеется, не следует абсолютизировать именно эти черты; однако представление о математике и ее применениях было бы однобоким, если бы мы умалчивали о их существовании.

§ 3. О ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

8. Концепция учебного предмета математики, получившая развитие в трудах многих отечественных и зарубежных педагогов, настолько многогранна, что допускает различные подходы к рассмотрению как школьного, так и вузовского курса математики. При этом сам учебный предмет может быть рассматриваем с точки зрения возможности отражения в нем различных аспектов математики как формы познания окружающей нас действительности. Целью нашего изучения является возможность отражения тех из них, которые непосредственно связаны с практикой решения прикладных задач и ее основными особенностями, рассмотренными в предыдущем разделе.

Педагогическая наука уже давно не ставит знака равенства между математикой как наукой и математикой как учебным предметом. В многочисленных работах сформировалось представление о нетождественности этих двух понятий, о том, что учебный предмет математика не может и не должен слепо копировать содержание математической науки. Учебный предмет должен иметь свою логику построения, свои принципы отбора содержания и привлечения методов обучения, удовлетворяющие основным дидактическим требованиям. Диалектические противоречия, в которые вступают эти требования в процессе учения, приводят к необходимости отхода от абсолютно полного отражения математической науки даже в школьных ее разделах в сторону некоторого педагогически обоснованного компромисса, удовлетворяющего каждому из этих требований хотя и не абсолютно, но более равномерно.

Математическое образование по существу никогда не сводилось только лишь к изучению математики. В соответствующем тезисе критике можно подвергнуть оба слова – и слово «изучение», и слово «математики». К примеру, мы обучаем учащихся решать математические задачи, и этот вид деятельности лишь с очень большой натяжкой можно квалифицировать как изучение математики. Соотношение между математикой как наукой и школьной дисциплиной мы уже затронули выше. Однако обучение на уроках математики должно преследовать еще одну крайне важную цель, не укладывающуюся в рассматриваемой схеме. Мы имеем в виду обучение применению математического аппарата к решению практических задач.

Здесь удобно воспользоваться введенной ранее инструментальной аналогией. Готовя, к примеру, будущего слесаря, совершенно необходимо не только знакомить его со своими инструментами, но и учить ими пользоваться. Математический инструментарий, в отличие, скажем, от напильника, значительно совершеннее и сложнее; кроме того, пользование им предполагает довольно основательное знакомство с его строением. Все это затрудняет решение задачи развития прикладных математических умений, но не снимает ее с повестки дня совершенствования современной школы.

Таким образом, математическое образование не может не учитывать необходимости отражения прикладных сторон математической науки. Существо    п р и к л а д н о й    н а п р а в л е н н о с т и    среднего математического образования поэтому заключается в осуществлении целенаправленной содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой, что предполагает введение в школьную математику специфических моментов, характерных для исследования прикладных проблем методики математики.

9. Во введении мы обсудили возможности вовлечения в курс математики школы нового прикладного содержания и нашли, что эти возможности принципиально ограничены. Поэтому решение задачи прикладной направленности среднего математического образования не может быть достигнуто только на пути насыщения курса математики новым прикладным содержанием, но требует определенной    о р и е н т а ц и и    курса математики в целом. Подобная ориентация будет достигнута, если нам удастся внести в обучение математики черты, специфические для прикладной деятельности. Принципиальная возможность этого связана с тем обстоятельством, что, как мы уже отмечали, идейно-богатые математические концепции, находящие себе место в преподавании математики, в равной мере примыкают как к теоретическому, так и к прикладному направлению в математике. Наряду с этим, в данном положении, если говорить об обучении математике, проявляется диалектическое противоречие между требованиями научности курса математики и требованиями построения обучения, органически связывающего теорию с практикой. Понятно, что прикладная ориентация математического образования призвана разрешить это противоречие, хотя, бесспорно, устранить его совсем невозможно.

В самое последнее время выдвинуты предложения содержательной ревизии математической науки, которая бы позволила устранить все более усиливающийся разрыв между математическими и собственно дидактическими требованиями к содержанию математического образования. Так, А. Н. Колмогоров считает важными целями математических исследований:

«1. Привести общие логические основы современной математики в такое состояние, чтобы их можно было излагать в школе подросткам 14-15 лет.

2. Уничтожить расхождение между «строгими» методами чистых математиков и «нестрогими» приемами математических рассуждений, применяемых прикладными математиками, физиками и техниками» [7] .

Бесспорно, важность и значимость поставленных целей не может быть преувеличена. Даже минимальное продвижение в направлении их реализации может оказать существенную помощь школе. По всей видимости, впервые в истории математики здесь выдвинуто требование перестройки математической науки в связи с потребностями образования и практики. Заметим, что выдвижение подобного требования именно в наши дни далеко не случайно и непосредственно связано с бурным развитием математики и по сути неограниченным ростом сфер ее приложения. Постановка этих целей означает настоятельную потребность выявить в рамках математической науки наиболее общие и, возможно, еще не познанные законы мышления, одновременно простые по сути и объединяющие в себе методы познания действительности, свойственные многим наукам.

С этой точки зрения отражение в школьном курсе математики специфики практики решения прикладных математических задач, достигаемое при прикладной ориентации курса, выражает прогрессивную тенденцию, позволяя отчасти уже сейчас устранить указанный разрыв и приблизиться к искомому сближению математических и естественнонаучных методов.

10. Практика преподавания математики в школе, к сожалению, доставляет нам достаточный запас примеров, свидетельствующих о недооценке необходимости такого обучения математике, которое бы учитывало последующее применение полученных знаний в практической деятельности. Поэтому первым шагом на пути практического решения проблемы прикладной ориентации среднего математического образования естественно является критический анализ подобных примеров. Уже на базе такого анализа можно выявить ряд принципиальных положений, выполнение которых способствовало бы решению нашей проблемы. Ниже представлена попытка такого анализа, разумеется, не исчерпывающая и не претендующая на полноту.

А. Во введении было показано, что математическое образование должно доставлять учащимся правильную картину состояния математики. Иными словами, математическое образование должно формировать правильные представления о математике и ее приложениях. Отсюда следует, что в обучении не должны появляться методы, факты и задачи, формирующие эти представления неверно. Это может произойти и происходит по разным причинам.

Первая    п р и ч и н а    сводится к тому, что в практике преподавания вопреки программе и учебному плану (а иногда и на их базе) нарушаются педагогически обоснованные пропорции, в которых должно находиться изучение различных разделов и тем курса математики. В некоторых случаях соответствующие педагогические критерии еще и не выработаны. Следствием этого некоторые разделы науки получают в школьном курсе гипертрофированное значение, никак не соответствующее их значению в самой математике или ее приложениях. Такая гипертрофия непринципиального для математики материала может быть вызвана соображениями моды, в некоторых случаях – существованием предвзятых убеждений со стороны методистов и учителей, чаще же всего – методически необоснованными внешними влияниями.

Конкретным примером сказанному могло бы служить многолетнее господство так называемых арифметических задач, ныне исключенных, наконец, из курса математики средней школы. Можно указать и на существование в школе до недавнего времени отдельного математического курса тригонометрии. Заметим, что любой исторический анахронизм в школьном курсе математики содержит в себе возможность искажения существа дела. Коль скоро в науке выработан простой и более совершенный метод для решения задач, встречающихся в школьном курсе и решаемых там достаточно часто, необходимо сразу же поставить вопрос о возможности замены старой методики обучения новой. Вспомним, к примеру, какую долю времени курса геометрии занимал вывод площадей и объемов методами, относящимися по существу еще к Архимеду. Теперь уже ясно, что введение элементов интегрального исчисления существенно упрощает этот раздел, придает ему определенные цельность и общность, причем общее количество потребного для этого времени не увеличивается. Мы уже не говорим о дополнительных преимуществах, которые возникают ввиду знакомства с понятием интеграла.

Еще в большей степени указанная причина относится к содержанию задач чисто технического порядка, когда часто необоснованно преувеличивается роль отдельных классов весьма частных задач, крайне редко встречающихся в практике работы даже профессиональных математиков, не говоря уже о других лицах. При этом привлекается разработанная для этих типов задач соответствующая «микротеория», которая выступает, таким образом,    н а р а в н е    с действительно важными в идейно-математическом отношении схемами.

Наиболее ярким примером, который бы было можно привести, является не оправдываемое никакими разумными соображениями преувеличенное внимание, уделяемое сейчас в школе привлечению пресловутой области допустимых значений (ОДЗ) к решению уравнений или неравенств. Сейчас редко можно найти школу, в которой бы не требовали от ученика начинать решение уравнений и неравенств определенных типов с нахождения соответствующих ОДЗ. Таким образом, в угоду вопиюще неверной схеме – неверной не только лишь в методическом, но и в математическом плане, – искажается правильная методика решения описанных классов задач.

Заметим, что в области подобной «математики» существуют ярко выраженные модные течения. Так, мода на ОДЗ пришла в школу вслед за другой, естественно, никак не связанной с ней модой на рассмотрение сложных выражений, включающих в себя модули. Число подобных примеров можно легко умножить.

Вторая    п р и ч и н а    формирования неверных представлений о математике связана с забвением реальной семантики математических объектов, в силу чего развивается неверная математическая интуиция. Естественно, что потеря этой интуиции должна чем-то компенсироваться, и чаще всего такой компенсацией служит хотя и не безукоризненная, но довольно сложная дедуктивная схема.

Примером, наиболее ярко подтверждающим эти положения, могла бы послужить своеобразная атака на геометрическую наглядность, предпринимаемая сейчас некоторыми последователями школы Н. Бурбаки. Любопытно отметить, что в цитированной нами программной книге П. Виссио раздел, посвященный изучению геометрических структур, практически не содержит чертежей!

В противовес этой концепции, на наш взгляд, крайне важным здесь является то обстоятельство, что избираемая модель, скажем, геометрии, и логическая последовательность ее построения в ряде случаев плохо связаны с непосредственной интуицией учащихся. Принципиальным достижением методики обучения математике было бы создание такого положения, при котором логическое «очевидно» (легко доказать) совпадало бы с физико-геометрическим наглядным «очевидно» (легко видеть).

Так, например, с точки зрения геометрической наглядности очень важны представления о симметрии и проводимые на их базе умозаключения. Старый курс геометрии, как известно, изгонял доказательства по симметрии из своего арсенала: они не входили в его логическую схему. Большим достижением новой программы по математике является то, что теперь симметрия геометрических объектов становится важнейшей темой школьного курса, в силу чего такие доказательства получают права гражданства. Таким образом, в данном вопросе учащийся может быть избавлен от необходимости доказывать очевидное способом, после которого доказываемый факт становится непонятнее, чем до доказательства.

Забвение происхождения и семантики математической теории ведут еще к одному принципиальному недостатку – преувеличенному вниманию к изучению вырожденных частных случаев, не имеющих большого математического и прикладного значения, но фигурирующих на равных правах с действительно важными случаями. На уровне внутримодельных представлений учащиеся не могут самостоятельно разобраться в том, какие случаи действительно важны и полезны, а какие рассматриваются лишь для полноты математического исследования. Примеры подобного рода можно бы было привести как из области теории, так и особенно много из практики решаемых в школе задач.

Приведем пример из области задачного творчества. В последнее время все большую популярность приобретают уравнения, в которые входит показательно-степенная функция. При решении подобных уравнений приходится разбирать множество частных вырожденных подслучаев, не имеющих большого математического значения. Сложность такого разбора иллюстрируется тем обстоятельством, что даже в среде методистов не сформировалось определенной точки зрения на то, какие из этих случаев действительно необходимо разбирать. Однако, с точки зрения математики и особенно ее приложений вся возникающая здесь дилемма ничего не стоит, так что наиболее правильным было бы не предлагать учащимся таких уравнений, в которых необходимо разбирать эти случаи.

Преувеличенное внимание к непринципиальным частностям не пустяк. Оно создает в умах учащихся совершенно неправильную картину математики и ее приложений, формирует представление о математике как об изощренном и хитроумном аппарате, с помощью которого нельзя ступить и шагу, чтобы не попасть в какую-либо подготовленную ловушку.

Невозможно возражать против полноты логического исследования, составляющего важную сторону математической науки. Вместе с тем, необходимо так формулировать допущения теоретических утверждений и условия задач, чтобы свести к минимуму исследование непринципиальных вырожденных случаев.

Б. Среднее математическое образование должно быть методологически связано с практикой. Тем самым в него необходимо включать те элементы математической культуры, которые характерны для всех трех этапов применения математики к решению прикладных задач. В частности, в нем должны найти отражение моменты, специфичные для прикладной математики.

В соответствии с занятой нами позицией, мы не будем здесь рассматривать вовлечения этих моментов в процесс изучения непосредственных приложений математики, где оно довольно очевидно. Остановимся опять-таки на изучении общего курса математики, не имея в виду, что изучаемые в нем понятия и методы найдут в его рамках обязательную прикладную иллюстрацию.

Одним из самых больших и, к сожалению, довольно часто встречающихся недостатков общего курса математики представляется методологически оторванное от практики введение новых понятий. Существует два противоположных способа введения новых понятий, существо которых удобнее объяснить на примере.

Производную можно вводить, руководствуясь такой схемой: объяснить, что такое скорость, что такое касательная к кривой, а затем перейти к формальному определению производной. Обратная схема сводится к формальному введению производной, после чего это понятие (с которым в некоторых случаях уже довольно долго работают) иллюстрируется на конкретных примерах. Здесь даже нет нужды приводить еще примеры, иллюстрирующие две эти схемы, ибо они слишком хорошо знакомы каждому математику и педагогу.

Методологически правильно связана с практикой первая схема. Она показывает пути возникновения новых понятий и методов из практики реального мира; в явном виде включает в себя процесс формализации и обобщения, что доставляет весьма принципиальную возможность обучения учащихся тем специфическим моментам прикладного исследования, о которых шла речь выше. Генетически связывая математическое понятие с его реальными прототипами, первая схема наполняет математическое понятие той самой семантикой, которая ведет за собой и воспитывает правильную математическую интуицию. В пользу же второй схемы можно, пожалуй, выдвинуть лишь один серьезный аргумент: она, как правило, более удобна для обучающего, позволяя сразу же рассматривать понятие во всей его общности, что во многих случаях оказывается заметно проще и изящнее. Однако этот аргумент не настолько весом, чтобы служить основанием для выбора второй схемы.

Аналогичные и, быть может, еще более жесткие требования должно предъявить к содержанию задач. Говоря об упражнениях чисто технического порядка, не связанных с никакой фабулой, можно отметить, что их содержание необходимо увязывать с тем возможным будущим контекстом, в котором они могут появиться. С этой точки зрения немыслимы и антипедагогичны задачи, подобные следующему уравнению

ибо логарифмы при таких основаниях не могут, по всей видимости, никогда появиться ни в одной разумно поставленной задаче.

Особые требования, комплекс которых еще не разработан, следует предъявлять к задачам, условия которых задаются в виде фабулы. Это и обычные так называемые текстовые задачи, сводящиеся к решению алгебраических систем, многие задачи геометрического характера, задачи на экстремум, вероятностные задачи и многие другие. В методической печати справедливо подвергались критике многие типы подобных задач, содержание которых не коррелировало с повседневным житейским опытом ученика, содержало принципиально не получаемые данные, произвольные и неверные допущения, т. е. представляло собой абсолютно искаженную картину математизации научного знания и практической деятельности человека.

З а д а ч а.    Врач контактирует с больными, болеющими инфекционными болезнями А, Б, В, Г. Вероятности заболеть этими болезнями для врача соответственно равны 1/100, 1/90, 2/275 и 1/26. Какова вероятность того, что врач заболеет хотя бы одной из этих болезней?

Решение задачи предполагает переход к дополнительному событию, причем для нахождения его вероятности следует применять теорему умножения вероятностей для случая независимых событий.

Нам представляется, что эта задача является великолепным образцом того, как не надо ставить и решать прикладные задачи. Во-первых, это целиком внутримодельная задача, мгновенно сводящаяся к тривиальной технической схеме, – найти вероятность осуществления хотя бы одного из данных независимых событий, если заданы их вероятности. В такой задаче заранее отсечены внематематические этапы процесса применения математики к решению практических задач. Тем самым она целиком остается в рамках модели.

Но это еще не все. Условия этой задачи содержат взятые «с потолка» значения вероятностей, которые весьма затруднительно интерпретировать как статистические. Трудность заключается не столько в том, что невозможно собрать медицинскую статистику, как могло бы показаться на первый взгляд, сколько в факте отнесения этой статистики к одному и тому же врачу! По условию задачи вероятность заболеть, скажем, болезнью А относится к одному человеку и, чтобы набрать хоть какую-то статистику, необходимо посвятить всю свою жизнь ее собиранию. Далее, невозможно представить себе условия регистрации этой статистической информации, а от них существенно зависят получаемые средние. Наконец, совершенно произвольным в данном случае выглядит принимаемое в условии неявное предположение о наличии статистической однородности. Предположение же о независимости заболеваний вызовет улыбку у любого человека: кто не знает, что когда организм ослаблен одной болезнью, шансы заболеть другой существенно повышаются.

Нам представляется, что автор данной задачи и не преследовал никаких прикладных целей, а просто хотел проиллюстрировать применение соответствующей формулы, придав условию задачи некую фабульную занимательность. Однако это привело к недопустимой вульгаризации прикладной сущности задачи. Разумеется, столь явно выраженные примеры единичны, но любой педагог сможет привести примеры, хотя и не в такой степени разительные, но в отдельных деталях близкие к рассмотренной нами задаче.

Методологическая связь школьного курса математики с практикой должна проявляться и в развитии тех навыков, которые, будучи по своему характеру чисто математическими, часто требуются при решении прикладных задач. Мы имеем типичные для прикладной деятельности навыки приближенной прикидки результатов, оценки погрешности, принципиальный для приложений навык доведения результата до числа или расчетной схемы. Однако в школьной практике мы сплошь и рядом удовлетворяемся ответами типа

хотя в распоряжении учащихся имеются и таблицы Брадиса, и логарифмическая линейка, которых вполне достаточно для того, чтобы выдать ответ, например, в форме

Резюмируя сказанное в этом пункте, можно вкратце описать те требования, выполнение которых необходимо для решения проблемы прикладной ориентации курса математики:

• Компоненты математической культуры, вовлекаемые в процесс обучения математике, должны формировать правильные представления о математике и ее приложениях.
• Курс математики в школе должен правильно воспитывать математическую интуицию учащихся, основывающуюся на сознательном понимании происхождения и реальной семантики математических объектов.
• Среднее математическое образование должно приводить к овладению учащимися элементами математической культуры, относящимися ко всем трем этапам процесса применения математики к решению практических задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью настоящей работы было лишь обоснование актуальности проблемы прикладной ориентации школьного курса математики, доказательство возможности ее положительного решения. Сделана попытка выявить специфику математической деятельности, связанной с приложениями математики, и проследить возможные пути отражения этой специфики в обучении математике. При этом сознательно игнорировались вопросы, связанные с привлечением конкретных прикладных иллюстраций математического материала, ибо, по нашему глубокому убеждению, центр тяжести проблемы прикладной направленности среднего математического образования расположен не в области конкретных прикладных иллюстраций, но в сфере привлечения характерных для прикладной деятельности моментов в обучении «чистой» математике. Разумеется, это не снимает необходимости отдельного рассмотрения методически правильного изложения и собственно приложений, особенно актуальных в наше время.

Решение проблемы прикладной ориентации среднего математического образования может быть достигнуто лишь на пути сознательного использования при составлении программ, учебников, пособий (и, наконец, в практике преподавания) педагогических положений, определяемых необходимостью ее решения, часть из которых была высказана выше. Нам представляется, что эта работа должна быть продолжена, и автор будет рад, если в ее решении примут участие его коллеги по научной работе и творчески работающие учителя. Поставленная здесь проблема весьма трудоемка и сложна; по существу, она затрагивает весь курс математики средней школы. Поэтому главной нашей целью было привлечь внимание к этой проблеме, которая, на наш взгляд, должна несомненно учитываться при разработке будущего содержания среднего математического образования, а также при решении сегодняшних проблем совершенствования преподавания математики в школе.

Литература

1. Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Успехи физических наук. – 1968. – Т. 94. – вып. 3.
2. Курант Р. Математика в современном мире // Математика в современном мире. – М.: «Мир», 1967.
3. Vissiо P. Aujourd'hui les mathematiques // Pour un nouvel enseignement matliematique. – Paris, 1972.
4. Александров П. С. Математика как наука // Известия АПН РСФСР. – 1958. – № 92.
5. Мышкис А. Д. Что такое прикладная математика // Проблемы преподавания математики во втузах. – Вып. 1. – М.: Высшая школа, 1971.
6. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей. – М.: Изд-во МГУ, 1972.
7. Колмогоров А. Н. Простоту – сложному // «Известия». – 1962. – 31 декабря.

©  В. В. Фирсов, 1977.

Публікується за: Фирсов В. В. О прикладной ориентации курса математики //
Углубленное изучение алгебры и анализа: Пособие для учителей (Из опыта работы) /
Сост.: С. И. Шварцбурд, О. А. Боковнев. – М.: Просвещение, 1977. – С. 215-239.